Bài 6.31 trang 28 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.31 trang 28 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Xác định parabol (P): y = ax² + bx + 3 trong mỗi trường hợp sau: 

a) (P) đi qua hai điểm A(1; 1) và B(– 1; 0);

b) (P) đi qua điểm M(1; 2) và nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng; 

c) (P) có đỉnh là I(1; 4). 

Phân tích Điều kiện và Công thức

Để xác định $a$ và $b$, ta lập hệ phương trình hai ẩn $a, b$ dựa trên các tính chất sau:

1. Đi qua điểm $A(x_0; y_0)$: $y_0 = ax_0^2 + bx_0 + 3$.

2. Trục đối xứng $x=x_s$: $x_s = -\frac{b}{2a}$.

3. Đỉnh $I(x_I; y_I)$: Thỏa mãn cả hai điều kiện 1 (đi qua $I$) và 2 ($x_I = x_s$).

Giải bài 6.31 trang 28 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Điều kiện: a ≠ 0.

a) (P) đi qua điểm A(1; 1) nên tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3, do đó ta có:

1 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 2 ⇔  a = – 2 – b  (*). 

(P) đi qua điểm B(– 1; 0) nên tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3, do đó ta có:

0 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 3 ⇔ a – b = – 3 ⇔  a = – 3 + b  (**)

Từ (*) và (**) suy ra: – 2 – b = – 3 + b ⇔ 2b = 1 ⇔ b =1/2

Suy ra: a = – 2 – 1/2 = –5/2

Vậy phương trình parabol (P): $y=\frac{-5}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3$

b) (P) đi qua điểm M(1; 2) nên tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3, do đó ta có:

2 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 1 ⇔  a = – 1 – b (*).

(P) nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng nên

$\frac{-b}{2a}=1\Leftrightarrow 2a=-b$ $\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}b$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $-1-b=-\frac{1}{2}b$

⇒ a = – 1 – (– 2) = 1. 

Vậy phương trình parabol (P): y = x² – 2x + 3. 

c) (P) có đỉnh là I(1; 4) hay (P) đi qua điểm I(1; 4) nên tọa độ điểm I thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 3, do đó ta có:

4 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b    (*).

Vì I là đỉnh của (P) nên:

$\frac{-b}{2a}=1\Leftrightarrow 2a=-b$ $\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}b$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $1-b=-\frac{1}{2}b$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}b=1\Leftrightarrow b=2$

⇒ a = 1 – b = 1 – 2 = – 1. 

Vậy phương trình parabol (P): y = – x² + 2x + 3.