Hotline 0939 629 809

Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức - Toán lớp 9

14:40:0715/07/2020

Tìm giá tị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức chứa dấu căn, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,...) là một trong những dạng toán lớp 9 có nhiều bài tương đối khó và đòi hỏi kiến thức vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán.

Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,...) qua một số bài tập minh họa cụ thể.

» Đừng bỏ lỡ: Cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) bằng BĐT Cô-si

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

- Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4

- Vì (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ khi x = -1.

* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5. Tìm GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A =  -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)2 + 4 = 4 - (x - 3)2

- Vì (x - 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x - 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)2 ≤ 4

 ⇒ A  ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ khi x = 3.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức: 

- Tìm x để Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.

- Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4

- Vì (x + 1)2 ≥ 0 nên (x + 1)2 + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy

 

Hay học hỏi dn1

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

- Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:

  hoặc 

- Dấu "=" xảy ra khi A = 0.

* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta thấy:  

 

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 + 3 ≥ 3

 nên  dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta có: 

 

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)2 + 5 ≤ 5

 nên  dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

 

* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta có:

 

 

 

  nên giá trị nhỏ nhất của B là  đạt được khi:

 

* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá trị lớn nhất thì  đạt giá trị nhỏ nhất

- Ta có: 

 

 Lại có: 

 Dấu"=" xảy ra khi 

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

- Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối.

* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

 Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

 Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

 Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị tuyệt đối,...) và hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số a, b không âm:  (Dấu "=" xảy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:  (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); , (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

° Lời giải:

-  Vì a,b>0 nên 

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).

 

 Dấu "=" xảy ra khi 

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

° Lời giải:

-  Vì a > 1 nên a - 1 > 0 ta có:

  [Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được]

 

Dấu "=" xảy ra khi 

Đối chiếu điều kiện a > 1 nên chỉ nhận a = 2; loại a = 0.

- Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.

Hy vọng với bài viết Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức ở trên giúp các em hiểu rõ hơn về dạng toán này.

» Đừng bỏ lỡ: Cách giải phương trình chứa dấu căn và bài tập cực hay

Việc vận dụng vào mỗi bài toán đòi hỏi kỹ năng làm toán của các em, kỹ năng này có được khi các em chịu khó rèn luyện qua nhiều bài tập. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để  ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Đánh giá & nhận xét

captcha
...
vu hong anh
kkkkkk
Trả lời -
04/08/2022 - 09:43
captcha
...
Linh
Ad ơi nếu như -24 / (2m - 4 ) bình phương có giá trị nhỏ nhất không ạ
Trả lời -
16/06/2022 - 22:12
...
Admin
Câu em hỏi sẽ không tìm được giá trị nhỏ nhất em ạ
21/06/2022 - 09:08
captcha
...
Hang
có cách khác để tìm GTNN & GTLN với nguyên căn thức không ạ ? VD: 1/ căn x-2
Trả lời -
05/06/2022 - 10:34
...
Admin
Chào em, trong bài có hướng dẫn mà em, với ví dụ em gửi 1/(căn(x-2)) thì ko có GTLN và GTNN nhé
09/06/2022 - 10:33
captcha
...
Nguyên tri vien
Hay
Trả lời -
20/05/2022 - 17:21
captcha
...
Hng
cảm ơn admin giúp em bt cách làm gtln gtnn nha C:
Trả lời -
10/05/2022 - 10:50
captcha
...
Ng Đăng
vậy khi ko có bình phương thì tìm GTNN làm sao ạ :(
Trả lời -
25/04/2022 - 20:53
...
Admin
Chào em, phổ biến ở lớp 9 em gặp các dạng trên, ngoài ra tùy bài có thể áp dụng các bất đẳng thức em đã biết như Cauchy (Cô-si),... nhé
04/05/2022 - 14:20
captcha
...
ukraine
bài viết chán ko hay
Trả lời -
18/04/2022 - 22:06
...
Admin
Bạn có góp ý gì để bài viết tốt hơn không bạn ??
19/04/2022 - 08:57
captcha
...
nghiem van vinh
bai viet hay day
Trả lời -
09/04/2022 - 20:45
captcha
...
tueduc
má, hiểu đấy nhưng vào làm bài thì nó lạ lắm à nghe :)))
Trả lời -
27/03/2022 - 19:18
captcha
...
iptt
cho em hỏi nếu dạng toán tìm gtnn gtln của ẩn x với một phân số chứa x thì có dạng bài này không ạ
Trả lời -
12/03/2022 - 22:09
captcha
Xem thêm bình luận
10 trong số 126
Tin liên quan