Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,...) qua một số bài tập minh họa cụ thể.

* Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

- Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A²(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x² + 2x - 3.

 Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)² - 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 ⇒ (x + 1)² - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: A_min = -4 khi và chỉ khi x = -1.

* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x² + 6x - 5.

Tìm GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A =  -x² + 6x - 5 = -x² + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)² + 4 = 4 - (x - 3)²

- Vì (x - 3)² ≥ 0 ⇒ -(x - 3)² ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)² ≤ 4

 ⇒ A  ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: A_max = 4 khi và chỉ khi x = 3.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức:

- Tìm x để A_max; tính A_max =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x² + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.

- Ta có: x² + 2x + 5 = x² + 2x + 1 + 4 = (x + 1)² + 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 nên (x + 1)² + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy

* Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

- Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:

  hoặc 

- Dấu "=" xảy ra khi A = 0.

* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta thấy:  

 Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² + 3 ≥ 3

 nên  dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức:

° Lời giải:

- Ta có: 

 Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)² ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)² + 5 ≤ 5

 nên  dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta có:

  nên giá trị nhỏ nhất của B là  đạt được khi:

* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá trị lớn nhất thì  đạt giá trị nhỏ nhất

- Ta có: 

 Lại có: 

 Dấu"=" xảy ra khi 

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

* Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

- Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối.

* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

 Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

 Vậy A_max = 5 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

 Vậy A_min = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị tuyệt đối,...) và hằng số để tìm ra lời giải.

Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số a, b không âm:  (Dấu "=" xảy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:  (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); , (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

° Lời giải:

-  Vì a,b>0 nên 

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).

 Dấu "=" xảy ra khi 

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

° Lời giải:

-  Vì a > 1 nên a - 1 > 0 ta có:

  (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được)

Dấu "=" xảy ra khi 

Đối chiếu điều kiện a > 1 nên chỉ nhận a = 2; loại a = 0.

- Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.