Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức - Toán lớp 9

14:40:0715/07/2020

Chào các em! Bài viết này sẽ chia sẻ với các em những phương pháp hiệu quả để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức toán học. Đây là một dạng bài tập quan trọng, giúp rèn luyện khả năng biến đổi đại số và tư duy logic. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua các ví dụ minh họa cụ thể cho từng dạng bài.

1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số

Phương pháp

Đối với biểu thức một biến số, cách phổ biến nhất là biến đổi biểu thức về dạng:

$A^2(x)+\text{const}$ : Để tìm GTNN.
$\text{const}-A^2(x)$ : Để tìm GTLN.

Trong đó $A(x)$ là một biểu thức chứa biến $x$ , và const là một hằng số.

Ví dụ 1: Tìm GTNN của $A = x^{2} + 2 x - 3$
- Lời giải:
  
  $A=x^2+2x-3=(x^2+2x+1)-4=(x+1)^2-4$
  
  Vì $(x+1)^2\ge 0$ với mọi $x$ , suy ra $(x+1)^2-4\ge-4$ .
  
  Dấu "=" xảy ra khi $x+1=0$ suy ra .
  
  Kết luận: $A_{min} = - 4$ khi $x = - 1$ .
Ví dụ 2: Tìm GTLN của $A = - x^{2} + 6 x - 5$
- Lời giải:
  
  Vì $(x-3)^2\ge 0$ với mọi $x$ , suy ra $-(x-3)^2\le 0$ .
  
  Do đó, $4-(x-3)^2\le 4$ .
  
  Dấu "=" xảy ra khi $x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ .
- Kết luận: $A_{ma x} = 4$ khi $x = 3$ .
Ví dụ 3: Tìm GTLN của $A=\frac{10}{x^2+2x+5}$
- Lời giải:
  - Để $A$ đạt GTLN, thì mẫu số phải đạt GTNN.
  - Ta biến đổi mẫu số: $x^2+2x+5=(x^2+2x+1)+4=(x+1)^2+4$ .
  - Vì $(x+1)^2\ge 0$ , nên $(x+1)^2+4\ge 4$ .
  - Dấu "=" xảy ra khi $x+1=0$ suy ra .
  - Khi đó, GTNN của mẫu số là 4.
  - Vậy, GTLN của $A=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$ khi $x=-1$ .
- Kết luận: $A_{ma x} =5/2$ khi $x = - 1$ .

2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn

Phương pháp

Tương tự như trên, ta áp dụng tính chất không âm của biểu thức chứa căn: $\sqrt{A(x)}\ge 0$ .

Ví dụ 1: Tìm GTNN của $A=2\sqrt{x-1}+3$
- Lời giải:
  - Ta có điều kiện xác định: $$x-1\ge 0$ suy ra $x\ge 1$ .
  - Vì $\sqrt{x-1}\ge 0$ với mọi $x\ge 1$ , suy ra $2\sqrt{x-1}\ge 0$ .
  - Do đó, $2\sqrt{x-1}+3\ge 3$ .
  - Dấu "=" xảy ra khi $$\sqrt{x-1}=0$ suy ra suy ra .
  - Kết luận: $A_{min} = 3$ khi $x = 1$ .
Ví dụ 2: Tìm GTLN của $A=5-3\sqrt{x-1}$
- Lời giải:
  - Điều kiện xác định: $$x-1\ge 0$ suy ra
  - Vì $\sqrt{x-1}\ge 0$ với mọi $x\ge 1$ , suy ra $-3\sqrt{x-1}\le 0$ .
  - Do đó, $5-3\sqrt{x-1}\le 5$ .
  - Dấu "=" xảy ra khi $$\sqrt{x-1}=0$ suy ra $x=1$
  - Kết luận: $A_{ma x} = 5$ khi $x = 1$ .

3. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp

Ta áp dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối: $|A(x)|\ge 0$ .

Ví dụ 1: Tìm GTLN của $A = 5 - ∣2 x - 2∣$
- Lời giải:
  - Vì $|2x-2|\ge 0$ với mọi $x$ , suy ra $-|2x-2|\le 0$ .
  - Do đó, $5-|2x-2|\le 5$ .
  - Dấu "=" xảy ra khi $$|2x-2|=0$ suy ra $2x-2=0$ suy ra $x=1$ .
  - Kết luận: $A_{ma x} = 5$ khi $x = 1$ .
Ví dụ 2: Tìm GTNN của $A = ∣9 - x ∣ - 3$
- Lời giải:
  - Vì $|9-x|\ge 0$ với mọi $x$ , suy ra $|9-x|-3\ge-3$ .
  - Dấu "=" xảy ra khi $$|9-x|=0$ suy ra $9-x=0$ suy ra $x=9$
  - Kết luận: $A_{min} = - 3$ khi $x = 9$ .

4. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi)

Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số a, b không âm: small a+b>=2sqrt{ab} (Dấu "=" xảy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: small |a|+|b|>=|a+b| (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); small |a-b|le|a|+|b| , (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

$small M=frac{a}{b}+frac{b}{a}, extrm{ }forall a,b>0$

° Lời giải:

- Vì a,b>0 nên $small frac{a}{b}>0; extrm{ }frac{b}{a}>0$

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).

$small frac{a}{b}+frac{b}{a}>=2sqrt{frac{a}{b}.frac{b}{a}}=2$

Dấu "=" xảy ra khi $small frac{a}{b}=frac{b}{a}Leftrightarrow a=b$

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

$small M=a+frac{1}{a-1}, extrm{ }forall a>1$

° Lời giải:

- Vì a > 1 nên a - 1 > 0 ta có:

$small a+frac{1}{a-1}=a-1+frac{1}{a-1}+1$ (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được)

$small a-1+frac{1}{a-1}+1>=2sqrt{(a-1)left ( frac{1}{a-1} ight )}+1=2+1=3$

Dấu "=" xảy ra khi $small a-1=frac{1}{a-1}Leftrightarrow (a-1)^2=1Leftrightarrow Leftrightarrow left [egin{matrix} a=2\ a=0 end{matrix} ight.$

Đối chiếu điều kiện a > 1 nên chỉ nhận a = 2; loại a = 0.

- Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.

Như vậy, để tìm GTLN hoặc GTNN của một biểu thức, các em cần biến đổi nó về dạng tổng hoặc hiệu của một biểu thức không âm (bình phương, căn, giá trị tuyệt đối) và một hằng số. Sau đó, dựa vào tính chất không âm của các biểu thức đó để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Ngoài ra, với các bài toán phức tạp hơn, chúng ta có thể sử dụng các bất đẳng thức khác như bất đẳng thức Cauchy hoặc các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Việc nắm vững các phương pháp cơ bản này sẽ là nền tảng vững chắc để các em giải quyết các bài toán nâng cao sau này.

• Xem thêm:

» Cách giải phương trình chứa dấu căn và bài tập cực hay

» Cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) bằng BĐT Cô-si

Đánh giá & nhận xét

ez bounty

ad cho em hỏi em lớp 8 và muốn tìm GTNN của biểu thức: Tìm GTNN của A=căn(2x^2 - 3x) + căn(7x^2 + 3x) + (4x^2 - 11x) + 9:x + 14(khác 0) nhưng không thấy cách nào dùng đc, ad giải hộ em vs ạ

Trả lời -

11/12/2024 - 21:46

Admin

Căn thức bậc 2 thì >=0, còn cái biểu thức còn lại bậc 2 cố gắng đưa về bình phương được không em nha

05/03/2025 - 09:49

hải

hay

Trả lời -

15/10/2024 - 22:26

Minh Đặng

Bài này khá là ok, áp dụng giải được cho mọi tình huống. Cảm ơn em nhiều nha!

Trả lời -

01/10/2024 - 19:15

Hoahoa

Cho em hỏi vd4 của phần tìm GTNN GTLN chứa dấu căn, ở phần "ta có" sao lại là x+căn2+2 vậy ạ ( làm sao để ra đc cái đó ạ )

Trả lời -

28/05/2024 - 15:10

Admin

Đấy là biến đổi mẫu thức của biểu thức có chứa căn mà em

12/06/2024 - 16:41

Hoahoa

x-căn2+2 chớ ở trên em ghi sai

28/05/2024 - 15:12

Bình phương

Admin có làm dụ đoán điểm rơi không như cho m lơns hơn bằng 2 tìm min khi m²+18/m

Trả lời -

23/04/2024 - 18:09

Admin

Chào em, bài này m >= 2 nên có thể viết thành m + 18/m rồi áp dụng bất đẳng thức Cosi nhé em, khi đó min của biểu thức = 6căn2 đạt được khi m = 18/m suy ra m = 3căn2 nha.

06/05/2024 - 08:58

Lại Văn sấm

Mai nghé

23/04/2024 - 18:20