Hotline 0939 629 809

Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức - Toán lớp 9

14:40:0715/07/2020

Tìm giá tị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức chứa dấu căn, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,...) là một trong những dạng toán lớp 9 có nhiều bài tương đối khó và đòi hỏi kiến thức vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán.

Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,...) qua một số bài tập minh họa cụ thể.

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

- Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4

- Vì (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ khi x = -1.

* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5. Tìm GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A =  -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)2 + 4 = 4 - (x - 3)2

- Vì (x - 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x - 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)2 ≤ 4

 ⇒ A  ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ khi x = 3.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức: 

- Tìm x để Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.

- Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4

- Vì (x + 1)2 ≥ 0 nên (x + 1)2 + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy

 

Hay học hỏi dn1

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

- Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:

  hoặc 

- Dấu "=" xảy ra khi A = 0.

* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta thấy:  

 

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 + 3 ≥ 3

 nên  dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta có: 

 

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)2 + 5 ≤ 5

 nên  dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

 

* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta có:

 

 

 

  nên giá trị nhỏ nhất của B là  đạt được khi:

 

* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá trị lớn nhất thì  đạt giá trị nhỏ nhất

- Ta có: 

 

 Lại có: 

 Dấu"=" xảy ra khi 

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

- Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối.

* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

 Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

 Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

 Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị tuyệt đối,...) và hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số a, b không âm:  (Dấu "=" xảy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:  (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); , (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

° Lời giải:

-  Vì a,b>0 nên 

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).

 

 Dấu "=" xảy ra khi 

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

° Lời giải:

-  Vì a > 1 nên a - 1 > 0 ta có:

  [Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được]

 

Dấu "=" xảy ra khi 

Đối chiếu điều kiện a > 1 nên chỉ nhận a = 2; loại a = 0.

- Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.

Hy vọng với bài viết Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức ở trên giúp các em hiểu rõ hơn về dạng toán này.

Việc vận dụng vào mỗi bài toán đòi hỏi kỹ năng làm toán của các em, kỹ năng này có được khi các em chịu khó rèn luyện qua nhiều bài tập, chúc các em học tốt.

Đánh giá & nhận xét

captcha
...
Lê Thị Thảo Nguyên
ad ơi giúp em gtln của căn x) / x + căn(x) + 1 với ạ, em cảm ơn
Trả lời -
11 giờ trước
captcha
...
Lê hoa
Ad hãy chỉ em giá trị lớn nhất của biểu thức căn 12- căn x- căn x/căn x +4 em cảm ơn ạ
Trả lời -
23/11/2021 - 13:50
...
Admin
Em viết đề như này sẽ rất khó hiểu cho ad, căn đến cái nào thì đóng ngoặc cái đó nhé em
Hôm qua
captcha
...
PTNT
ad chỉ cho em tìm GTNN của căn x -1 / căn x +5 với ạ
Trả lời -
11/11/2021 - 11:27
...
Admin
Ad nhìn ko hiểu đề bài được nếu không viết rõ, căn(x) -1 hay căn(x-1)???
15/11/2021 - 15:32
captcha
...
.,
anh ơi bày em câu này với ạ tìm GTLN của M= căn x( 6- căn x)
Trả lời -
06/11/2021 - 11:56
...
Admin
Chào em, M = căn(x).(6 - căn(x)) = [-(căn(x))^2 + 2.3.căn(x) - 9] + 9 = -[(căn(x))^2 - 2.3.căn(x) + 9] + 9 = -[căn(x) - 3]^2 + 9 =<9 vì [căn(x) - 3]^2 >=0, vậy GTLN của M = 9 đạt được khi căn(x) - 3 =0 suy ra căn(x) = 3 suy ra x = 9.
10/11/2021 - 10:10
captcha
...
ACE GAMING
ad hãy chỉ cho e GTLN 2-3 căn x vs ạ
Trả lời -
03/11/2021 - 20:30
...
Admin
Chào em, GTLN A= 2-3(cănx), (điều kiện căn bậc 2 có nghĩa thì biểu thức trong căn >=0) nên 2-3(cănx) >=2, vậy GTLN A = 2 đạt được khi căn(x)=0 suy ra x = 0.
06/11/2021 - 08:47
captcha
...
hoezzz
xin hãy giúp em ạ: tìm GTLN của A = -5x^2 + 2x - 102
Trả lời -
01/11/2021 - 19:39
...
Admin
Chào em, GTLN của A = -5x^2 + 2x - 102 = 5[-x^2 + 2.(1/5)x -(102/5)] = -5[x^2 - 2.(1/5).x + (102/5)] = -5[x^2 - 2.(1/5).x + (1/25) - 1/25 + (102/5)] = -5[x^2 - 2.(1/5).x + (1/25)] + 1/5 - 102 = -5[x -(1/5)]^2 - 509/5 =< - 509/5 (vì [x -(1/5)]^2 nên -5[x -(1/5)]^2 =<0). Vậy GTLN của A = - 509/5 đạt được khi x -(1/5) = 0 suy ra x = 1/5.
06/11/2021 - 08:34
captcha
...
ducminh
help me do homework tìm Amin khi A=3x bình-6x+1
Trả lời -
31/10/2021 - 09:26
...
Admin
Chào bạn, A=3x^2-6x+1 = 3x^2 - 6x + 3 - 2 = 3(x^2-2x+1) - 2 = 3(x-1)^2 - 2>=-2 suy ra Amin = -2 đạt được khi x - 1 = 0 suy ra x =1.
01/11/2021 - 09:43
captcha
...
linz
giúp em với ạ 2/cănx +2 tìm giá trị lớn nhất
Trả lời -
20/10/2021 - 21:24
...
Admin
Chào em, nếu đề là A = 2/(căn(x) + 2) thì cách giải như sau: căn(x) + 2>=2 (do x>=0 và căn(x)>=0) nên 2/(căn(x) + 2) =<1 suy ra GTLN A=1 khi căn(x) = 0 khi x = 0.
25/10/2021 - 15:11
...
dumalinz ko làm mà đòi có ăn
có cái lịt
21/10/2021 - 15:31
captcha
...
thắm
có thể giúp e giải bài này ko ak: tìm GTLN của biểu thức -9x^2=12x-19 Em cảm ơn nhiều ạ
Trả lời -
15/10/2021 - 12:54
...
Admin
Em viết sai đề rồi em ạ (trên có dấu = là phương trình mất rồi), nếu biểu thức trên: A = - 9x^2 + 12x - 19 thì làm như sau: -A = 9x^2 - 12x + 19 = (3x)^2 - 2.(3x).2 + 4 + 15 = (3x - 2)^2 + 15 >= 15. Như vậy -A >=15 suy ra A=< -15 vậy GTLN của A = -15 đạt được khi 3x - 2 = 0 suy ra x = 2/3.
21/10/2021 - 09:37
...
Phan Anh (chưa có ny)
em đổi biểu thức thành (3x+2)^2 -23=0 rồi làm giống như trên là ra GTLN là 23 nhé
21/10/2021 - 10:34
captcha
...
Thủy
Bài viết hay hay và khá đủ dạng. Xin trân trọng cảm ơn!
Trả lời -
13/10/2021 - 18:48
captcha
Xem thêm bình luận
10 trong số 106