Cách tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) thỏa điều kiện vị trí giao điểm - Toán lớp 9 chuyên đề

Vậy cách giải bài tập tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) thỏa điều kiện vị trí giao điểm như nào? Nội dung bài viết này sẽ giúp các em hiểu và vận dụng giải bài tập dễ dàng hơn.

1. Cách tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm thỏa điều kiện

Cách giải bài tập đường thẳng cắt parabol thỏa mãn điều kiện về vị trí giao điểm ta thực hiện 4 bước như sau:

Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n.

• Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0 (*)

• Bước 2: Xét điều kiện để parabol có điểm chung với đường thẳng:

- Trường hợp 1: Parabol tiếp xúc với đường thẳng (có 1 điểm chung) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).

- Trường hợp 2: Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt (có 2 điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).

• Bước 3:Xét điều kiện về vị trí giao điểm:

° Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm phía trên trục hoành ⇒ a > 0.

° Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm phía dưới trục hoành ⇒ a < 0.

° Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm cùng phía so với trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm cùng dấu

 hay a.n < 0.

° Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên phải trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm dương

° Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên trái trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm âm

° Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu 

 hay a.n > 0

° Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm thỏa mãn điều kiện khác: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi biểu thức.

• Bước 4: Kết luận.

2. Bài tập tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm thỏa điều kiện

* Ví dụ 1: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = x + m (với m là tham số). Tim giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở hai phía so với trục tung.

* Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

x² = x + m ⇔ x² - x - m = 0 (*) 

Ta có: Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4.1.(-m) = 1 + 4m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

⇔ Δ > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ m > -1/4

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (*)

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: P = x₁.x₂ = c/a = -m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở hai phía so với trục tung thì hoành độ của các giao điểm trái dấu:

⇔ x₁.x₂ < 0 ⇔ -m < 0 ⇔ m > 0

Vậy, đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở hai phía của trục tung khi m > 0.

* Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y = m² + 1 và parabol P: y = ax² (a > 0). Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại hai điểm khác phía so với trục tung và cách đều trục tung với mọi m?

* Lời giải:

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm khác phía so với trục tung và cách đều trục tung ⇔ Phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu và chúng bằng nhau về giá trị tuyệt đối

⇒ Tổng hai nghiệm bằng 0

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

ax² = m² + 1

⇔ ax² - (m² + 1) = 0 (*)

Phương trình (*) là phương trình bậc hai có hệ số b = 0

và ac = a.[-(m² + 1)] = -a(m² + 1)

Vì a > 0 và (m² + 1) > 0 nên ac = -a(m² + 1) < 0 với mọi m.

Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm trái dấu và chúng có trị tuyệt đối bằng nhau với mọi m.

Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm khác phía so với trục tung và cách đều trục tung với mọi m

* Ví dụ 3: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (d): y = -x + 2m và parabol (P):  cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía so với trục tung.

* Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x² = -x + 2m ⇔ x² - 2x + 4m = 0 (*) 

Ta có: Δ' = b'² - ac = (1)² - 1.(4m) = 1 - 4m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

⇔ Δ' > 0 ⇔ 1 - 4m > 0 ⇔ m < 1/4

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (*)

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: P = x₁.x₂ = c/a = 4m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở cùng phía so với trục tung thì hoành độ của các giao điểm cùng dấu:

⇔ P > 0 ⇔ 4m > 0 ⇔ m > 0

Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía của trục tung khi: 0 < m < 1/4.