Cách tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) thỏa điều kiện vị trí giao điểm - Toán lớp 9 chuyên đề

Để giúp các em tự tin hơn khi giải quyết dạng toán này, bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa cụ thể.

I. Phương pháp tìm m để (d) cắt (P) thỏa mãn điều kiện vị trí

Cho parabol $(P): y = ax^2$ ($a \neq 0$) và đường thẳng $(d): y = mx + n$. Để giải bài tập này, chúng ta thực hiện theo 4 bước sau:

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm

Ta có phương trình:

Bước 2: Xét điều kiện để (d) và (P) có điểm chung

• Trường hợp 1: $(d)$ tiếp xúc với $(P)$ (có 1 điểm chung) $\Rightarrow$ Phương trình $(*)$ có nghiệm kép ($\Delta = 0$).

• Trường hợp 2: $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt (có 2 điểm chung) $\Rightarrow$ Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt ($\Delta > 0$).

Bước 3: Xét điều kiện về vị trí giao điểm

Gọi $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $(*)$. Áp dụng định lý Vi-ét: $S = x_1 + x_2 = \frac{m}{a}$ và $P = x_1x_2 = \frac{-n}{a}$.

• (d) cắt (P) tại hai điểm nằm cùng phía so với trục tung: Phương trình $(*)$ có hai nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow P > 0$.

• (d) cắt (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên phải trục tung: Phương trình $(*)$ có hai nghiệm dương phân biệt:

  $$\begin{cases} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases}$$

• (d) cắt (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên trái trục tung: Phương trình $(*)$ có hai nghiệm âm phân biệt:

  $$\begin{cases} \Delta > 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \end{cases}$$

• (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung (cắt nhau tại điểm có hoành độ trái dấu): Phương trình $(*)$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow P < 0$ (hoặc $a \cdot (-n) < 0$).

• (d) cắt (P) tại hai điểm nằm phía trên trục hoành: Parabol phải quay bề lõm lên trên $\Rightarrow a > 0$.

• (d) cắt (P) tại hai điểm nằm phía dưới trục hoành: Parabol phải quay bề lõm xuống dưới $\Rightarrow a < 0$.

Bước 4: Kết luận

Tổng hợp các điều kiện và trả lời yêu cầu đề bài.

II. Bài tập vận dụng minh họa

Ví dụ 1

Đề bài: Cho $(P): y = x^2$ và $(d): y = x + m$. Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là:

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì $\Delta > 0$:

Để hai giao điểm nằm về hai phía trục tung thì hoành độ $x_1, x_2$ phải trái dấu:

Kết hợp điều kiện $m > -1/4$, ta được $m > 0$.

Ví dụ 2

Đề bài: Chứng minh rằng đường thẳng $(d): y = m^2 + 1$ luôn cắt parabol $(P): y = ax^2$ ($a > 0$) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung và cách đều trục tung với mọi $m$.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

Vì $a > 0$ và $m^2 + 1 > 0$ với mọi $m$, nên tích $a \cdot [-(m^2 + 1)] < 0$.

Do $ac < 0$ nên phương trình $(*)$ luôn có hai nghiệm trái dấu $x_1, x_2$ với mọi $m$.

Mặt khác, phương trình $(*)$ khuyết hạng tử bậc nhất ($b=0$) nên tổng hai nghiệm $S = 0 \Rightarrow x_1 = -x_2$.

Vì $x_1, x_2$ đối nhau nên hai giao điểm cách đều trục tung.

Kết luận: $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm nằm về hai phía và cách đều trục tung.

Ví dụ 3

Đề bài: Tìm $m$ để $(d): y = -x + 2m$ và $(P): y = -\frac{1}{2}x^2$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía so với trục tung.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

Ta có $\Delta' = (-1)^2 - 4m = 1 - 4m$. Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì:

Để hai giao điểm nằm cùng phía so với trục tung thì $x_1x_2 > 0$:

Kết luận: Với $0 < m < \frac{1}{4}$ thì yêu cầu đề bài được thỏa mãn.