Bài 15 trang 83 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Một chiếc máy đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0; 0; 6) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là:

A₁(0; 1; 0), , 

(Hình 40). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 300 N. Tìm tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ: , , 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Vectơ Chỉ Phương: Các lực $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$ trên các chân đỡ $EA_1, EA_2, EA_3$ phải cùng phương và cùng chiều với các vectơ chỉ phương $\vec{EA_1}, \vec{EA_2}, \vec{EA_3}$ (hướng từ điểm đặt $E$ xuống đất).

2. Mối quan hệ Lực và Vectơ: Do độ dài các chân đỡ bằng nhau (kiểm tra bằng công thức độ dài), cường độ các lực căng là bằng nhau ($|\vec{F_1}|=|\vec{F_2}|=|\vec{F_3}|$). Do đó, tồn tại hằng số $c$ sao cho $\vec{F_i} = c \cdot \vec{EA_i}$.

3. Điều kiện Cân bằng: Tổng ba lực bằng vectơ trọng lực $\vec{F}$ hướng xuống: $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}=\vec{F}$. Trọng lực $\vec{F}$ có tọa độ $(0; 0; -300)$.

4. Giải $c$: Giải phương trình cân bằng theo trục $Oz$ để tìm hằng số $c$.

5. Kết quả: Thay $c$ vào biểu thức $\vec{F_i}$ để tìm tọa độ.

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết, ta có các điểm $E(0; 0; 6)$, $A_1(0; 1; 0)$, $A_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2};0\right)$, $A_3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2};0\right)$.

Các vectơ chỉ phương của các chân đỡ (hướng từ $E$ đến các điểm tiếp xúc với mặt đất):

Độ dài các chân đỡ (bằng nhau):

Suy ra $|\vec{EA_1}|=|\vec{EA_2}|=|\vec{EA_3}|=\sqrt{37}$.

Do tính đối xứng của giá đỡ và độ dài các chân bằng nhau, cường độ các lực căng tác dụng lên các chân cũng bằng nhau: $|\vec{F_1}|=|\vec{F_2}|=|\vec{F_3}|$.

Các lực $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$ có phương cùng với các vectơ $\vec{EA_1}, \vec{EA_2}, \vec{EA_3}$ (hướng xuống đất, cùng chiều với $\vec{EA_i}$), nên tồn tại hằng số $c \neq 0$ sao cho:

Tổng các lực $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}$:

Mặt khác, máy ở trạng thái cân bằng nên tổng các lực cân bằng với trọng lực $\vec{F}$ (có phương $Oz$, hướng xuống, cường độ $300\,\text{N}$):

Do đó:

Vậy tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ là: