Bài 6 trang 81 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

17:31:3531/03/2024

Bài tập này là một bài toán tổng hợp quan trọng trong chương Vectơ trong không gian $Oxyz$ , kiểm tra nhiều kỹ năng: chứng minh ba điểm không thẳng hàng, tính chu vi tam giác, tìm tọa độ trọng tâm, và tính cosin của một góc (thông qua tích vô hướng). Các bước giải đều dựa trên tọa độ điểm và công thức vectơ.

Đề bài:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-2; 3; 0), B(4; 0; 5), C(0; 2; -3).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tnihschu vi tam giác ABC

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tính cos $\widehat{BAC}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Tính Tọa độ Vectơ: Tính $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}$ .
Thẳng hàng (Phần a): Kiểm tra xem $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ có cùng phương hay không (so sánh tỉ lệ tọa độ).
Chu vi (Phần b): Tính độ dài $AB = |\vec{AB}|, AC = |\vec{AC}|, BC = |\vec{BC}|$ . Chu vi $C = AB + AC + BC$ .
Trọng tâm (Phần c): Áp dụng công thức trung bình cộng tọa độ: $x_G = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}$ .
Góc $\widehat{BAC}$ (Phần d): Dùng công thức $\cos\widehat{BAC} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Chứng Minh Ba Điểm $A, B, C$ Không Thẳng Hàng

Để chứng minh ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng, ta chứng minh hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ không cùng phương.

Ta có:

\vec{AB}=(4 - (-2); 0 - 3; 5 - 0) = (6; -3; 5)

\vec{AC}=(0 - (-2); 2 - 3; -3 - 0) = (2; -1; -3)

Giả sử $\vec{AB}=k\vec{AC}$, ta có hệ phương trình:

\begin{cases} 6 = 2k \\ -3 = -k \\ 5 = -3k \end{cases}

Từ hai phương trình đầu, ta có $k = 3$. Thay $k=3$ vào phương trình thứ ba: $5 = -3(3) = -9$ (Vô lý).

Suy ra $\vec{AB} \neq k\vec{AC}$ với mọi $k \in \mathbb{R}$ , do đó hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.

b) Tính Chu Vi Tam Giác $ABC$

Chu vi tam giác $ABC$ là $C = AB + AC + BC$ . Ta tính độ dài các cạnh:

AB = |\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 9 + 25} = \sqrt{70}

AC = |\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}

Ta có $\vec{BC}=(0 - 4; 2 - 0; -3 - 5) = (-4; 2; -8)$.

BC = |\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 4 + 64} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}

Chu vi tam giác $ABC$ là $C = AB + AC + BC = \sqrt{70} + \sqrt{14} + 2\sqrt{21}$ .

c) Tìm Tọa Độ Trọng Tâm $G$ của Tam Giác $ABC$

Gọi tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $(x_G; y_G; z_G)$.

x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3} = \frac{-2+4+0}{3}=\frac{2}{3}

y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3} = \frac{3+0+2}{3}=\frac{5}{3}

z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3} = \frac{0+5+(-3)}{3}=\frac{2}{3}

Vậy tọa độ trọng tâm $G$ là $G\left(\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}\right)$ .

d) Tính $\cos\widehat{BAC}$

Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ:

\cos\widehat{BAC} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}

Ta có tích vô hướng:

\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (6)(2) + (-3)(-1) + (5)(-3) = 12 + 3 - 15 = 0

Do đó:

\cos\widehat{BAC} = \frac{0}{\sqrt{70} \cdot \sqrt{14}} = 0

Vì tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ , hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ vuông góc với nhau, hay hai đường thẳng $AB$ và $AC$ vuông góc với nhau nên $\widehat{BAC}=90^\circ$ .

Vậy $\cos\widehat{BAC} = 0$ .

Bài toán đã giải quyết bốn yêu cầu cơ bản về hình học giải tích trong $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ :

Thẳng hàng: $A, B, C$ không thẳng hàng do $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ không cùng phương.
Chu vi: $C = \mathbf{\sqrt{70} + \sqrt{14} + 2\sqrt{21}}$ .
Trọng tâm: $G\mathbf{\left(\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}\right)}$ .
Góc: $\mathbf{\cos\widehat{BAC} = 0}$ (tam giác vuông tại $A$ ).