Bài 7.44 trang 65 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.44 trang 65 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB // CD và AB = BC = DA = a, CD = 2a. Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a. Tính theo a khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và thể tích của khối chóp S.ABCD.

Giải bài 7.44 trang 65 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).

Khi đó d(S, (ABCD)) = SO.

Kẻ AH ⊥ DC tại H, BK ⊥ DC tại K.

Khi đó ABKH là hình chữ nhật nên AB = HK = a.

Xét ΔAHD và ΔBKC có:

AD = BC = a,

 (vì ABCD là hình thang cân)

Nên ΔAHD = ΔBKC

CH = HK + KC = a + a/2 = 3a/2

Xét tam giác AHD vuông tại H, có:

Xét tam giác AHC vuông tại H, có:

Vì AB // CD nên

Suy ra: OC = 2AO

Mà AO + OC = AC nên

Xét tam giác SOA vuông tại O, có:

Khi đó:

Vậy, ta có: