Bài 8.14 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 8.14 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Có hai túi mỗi túi đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là bài toán tính xác suất của hợp hai biến cố. Để giải quyết, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định biến cố thành phần: Gọi $A$ là biến cố không có quả cầu nào ghi số 1, $B$ là biến cố không có quả cầu nào ghi số 5.

2. Sử dụng tính độc lập: Việc lấy cầu từ túi I và túi II là độc lập, cho phép ta dùng quy tắc nhân để tính $P(A)$ và $P(B)$.

3. Tính xác suất biến cố tích ($AB$): Xác định khả năng cả hai quả cầu đều không ghi số 1 và không ghi số 5.

4. Áp dụng công thức cộng:

   $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$

Giải bài 8.14 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi A là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1”,

A₁ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 1”,

A₂ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 1”.

Ta có A = A₁A₂. Hai biến cố A₁ và A₂ độc lập nên P(A) = P(A₁) . P(A₂).

Lại có P(A₁) = P(A₂) = 9/10 = 0,9.

Do đó P(A) = (0,9)².

Gọi B là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 5”,

B₁ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 5”,

B₂ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 5”.

Ta có B = B₁B₂. Hai biến cố B₁ và B₂ độc lập nên P(B) = P(B₁) . P(B₂).

Lại có P(B₁) = P(B₂) = 9/10 = 0,9.

Do đó P(B) = (0,9)².

Gọi E là biến cố: “Trong hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5”.

Ta có E = A ∪ B.

Theo công thức cộng xác suất ta có P(E) = P(A) + P(B) – P(AB).

Ta có AB là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả nào ghi số 1 và ghi số 5”.

Gọi H₁ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 1 và số 5”,

H₂ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 1 và số 5”.

Ta có AB = H₁H₂. Hai biến cố H₁ và H₂ độc lập nên P(AB) = P(H₁) . P(H₂).

Lại có P(H₁) = P(H₂) = 8/10.

Từ đó P(AB) = (0,8)².

Do đó, P(E) = P(A) + P(B) – P(AB) = (0,9)² + (0,9)² – (0,8)² = 0,98.

Vậy xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5 là 0,98.