Bài 8.12 trang 78 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 8.12 trang 78 Toán 11:

Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

A: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60” và B: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48”.

Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố không độc lập.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để chứng minh hai biến cố A và B là hai biến cố không độc lập, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Liệt kê các phần tử của biến cố: Xác định các phần tử của biến cố A (số là ước của 60) và biến cố B (số là ước của 48).

2. Tìm giao của hai biến cố: Tìm các phần tử chung của A và B.

3. Tính xác suất:

   • Tính xác suất của biến cố A, ký hiệu là $P(A)$.

   • Tính xác suất của biến cố B, ký hiệu là $P(B)$.

   • Tính xác suất của biến cố giao AB, ký hiệu là $P(AB)$.

4. So sánh: So sánh $P(AB)$ với tích $P(A)\cdot P(B)$.

   • Nếu $P(AB)=P(A)\cdot P(B)$, thì A và B là hai biến cố độc lập.

   • Nếu $P(AB)\ne P(A)\cdot P(B)$, thì A và B là hai biến cố không độc lập.

Lời giải chi tiết bài 8.12:

Tổng số tấm thẻ là 60, nên số phần tử của không gian mẫu là .

• Bước 1: Liệt kê các phần tử của A và B

  • Biến cố A: "Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60".

    $U(60)=\{1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60\}$

    $A=\{1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60\}$

     Số phần tử của A là .

  • Biến cố B: "Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48".

    $U(48)=\{1;2;3;4;6;8;12;16;24;48\}$

    $B=\{1;2;3;4;6;8;12;16;24;48\}$

    Số phần tử của B là .

• Bước 2: Tìm giao của A và B

  • Biến cố AB (A giao B): "Số ghi trên tấm thẻ là ước chung của 60 và 48".

    $UC(60,48)=U(UCLN(60,48))$

    $UCLN(60,48)=12$.

    $U(12)=\{1;2;3;4;6;12\}$.

  • $AB=A\cap B=\{1;2;3;4;6;12\}$.

  • Số phần tử của AB là $|AB|=6$.

• Bước 3: Tính xác suất

  • Xác suất của biến cố A là: $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$

  • Xác suất của biến cố B là: $P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$

  • Xác suất của biến cố AB là:$P(AB)=\frac{|AB|}{|\Omega|}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$

• Bước 4: So sánh

  • Tích $P(A)\cdot P(B)$ là: $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$

  • Ta thấy $P(AB)=\frac{1}{10}$ và $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{30}$

  • Rõ ràng, $P(AB)\ne P(A)\cdot P(B)$.

Vậy, hai biến cố A và B là hai biến cố không độc lập.

Những lỗi thường gặp

• Liệt kê thiếu ước số: Học sinh thường quên các ước ở giữa hoặc các ước lớn (như chính số đó).

• Nhầm lẫn công thức: Sử dụng nhầm công thức cộng xác suất $P(A \cup B)$ thay vì công thức nhân $P(A \cdot B)$.

Mẹo giải nhanh

Để tìm số phần tử của biến cố giao $A \cap B$ nhanh hơn, thay vì nhìn hai tập hợp rồi đối chiếu, các em hãy tìm Ước chung lớn nhất (UCLN) của 60 và 48.

• $UCLN(60, 48) = 12$.

• Số phần tử của $A \cap B$ chính là số lượng các ước của 12 (1, 2, 3, 4, 6, 12). Cách này giúp các em tiết kiệm thời gian và tránh sai sót khi đề bài cho số lớn.