Bài 8.12 trang 78 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 8.12 trang 78 Toán 11:

Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

A: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60” và B: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48”.

Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố không độc lập.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để chứng minh hai biến cố A và B là hai biến cố không độc lập, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Liệt kê các phần tử của biến cố: Xác định các phần tử của biến cố A (số là ước của 60) và biến cố B (số là ước của 48).

2. Tìm giao của hai biến cố: Tìm các phần tử chung của A và B.

3. Tính xác suất:

   • Tính xác suất của biến cố A, ký hiệu là $P(A)$.

   • Tính xác suất của biến cố B, ký hiệu là $P(B)$.

   • Tính xác suất của biến cố giao AB, ký hiệu là $P(AB)$.

4. So sánh: So sánh $P(AB)$ với tích $P(A)\cdot P(B)$.

   • Nếu $P(AB)=P(A)\cdot P(B)$, thì A và B là hai biến cố độc lập.

   • Nếu $P(AB)\ne P(A)\cdot P(B)$, thì A và B là hai biến cố không độc lập.

Lời giải chi tiết:

Tổng số tấm thẻ là 60, nên số phần tử của không gian mẫu là .

• Bước 1: Liệt kê các phần tử của A và B

  • Biến cố A: "Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60".

    

    

     Số phần tử của A là .

  • Biến cố B: "Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48".

    

    

    Số phần tử của B là .

• Bước 2: Tìm giao của A và B

  • Biến cố AB (A giao B): "Số ghi trên tấm thẻ là ước chung của 60 và 48".

    

    

    

  • 

  • Số phần tử của AB là .

• Bước 3: Tính xác suất

  • Xác suất của biến cố A là: 

  • Xác suất của biến cố B là:

  • Xác suất của biến cố AB là:

• Bước 4: So sánh

  • Tích  là: 

  • Ta thấy  và

  • Rõ ràng, .

Vậy, hai biến cố A và B là hai biến cố không độc lập.