Bài 8.15 trang 78 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 8.15 trang 78 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có 93% học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; 87% học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

Nhận xét

Đây là dạng bài cơ bản về biến cố độc lập, cần nắm:

• Công thức nhân xác suất
• Biến cố đối
• Biến cố “ít nhất một”

Giải bài 8.15 trang 78 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi:

• A: “Học sinh tỉnh X đạt yêu cầu”
• B: “Học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu”

Ta có: P(A) = 0,93; P(B) = 0,87

Suy ra: P(Ā) = 0,07; P(B̄) = 0,13

a) Cả hai học sinh đều đạt yêu cầu

P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 0,93 . 0,87 = 0,8091

b) Cả hai học sinh đều không đạt yêu cầu

P(Ā ∩ B̄) = P(Ā) . P(B̄) = 0,07 . 0,13 = 0,0091

c) Chỉ có đúng một học sinh đạt yêu cầu

P(A ∩ B̄) + P(Ā ∩ B) = P(A) . P(B̄) + P(Ā) . P(B)

= 0,93 . 0,13 + 0,07 . 0,87 = 0,1818

d) Có ít nhất một học sinh đạt yêu cầu

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

= 0,93 + 0,87 − 0,8091 = 0,9909

Kết luận

a) 0,8091

b) 0,0091

c) 0,1818

d) 0,9909

Mẹo làm nhanh

• “Cả hai” → nhân xác suất
• “Chỉ một” → chia 2 trường hợp rồi cộng
• “Ít nhất một” → có thể dùng:
  1 − xác suất “không có cái nào”

Lỗi học sinh hay gặp

• Quên dùng tính độc lập → không nhân xác suất
• Nhầm “chỉ một” với “ít nhất một”
• Không dùng biến cố đối để làm nhanh

Kết luận chung

Bài toán sử dụng linh hoạt:

• Nhân xác suất (biến cố độc lập)
• Cộng xác suất
• Biến cố đối