Bài 8.10 trang 75 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Xác suất trong thống kê giáo dục

Bài 8.10 trang 75 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tại các trường trung học phổ thông của một tỉnh, thống kê cho thấy có 63% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa A, 56% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa B và 28,5% giáo viên môn Toán tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B. Tính tỉ lệ giáo viên môn Toán tại các trường trung học phổ thông của tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B.

Phân tích lý thuyết

Để giải quyết bài toán tính tỉ lệ (bản chất là xác suất), chúng ta cần sử dụng các quy tắc toán học về tập hợp biến cố:

1. Biến cố hợp ($A \cup B$): Đại diện cho nhóm giáo viên tham khảo ít nhất một trong hai bộ sách. Vì có những người tham khảo cả hai nên đây là hai biến cố không xung khắc.

2. Công thức cộng xác suất:

   $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

3. Biến cố đối ($\overline{C}$): Đại diện cho nhóm giáo viên không tham khảo bộ sách nào trong cả hai bộ A và B.

   $$P(\overline{C}) = 1 - P(C)$$

Giải bài 8.10 trang 75 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi các biến cố như sau:

• A: “Giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách A”.

• B: “Giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách B”.

• $A \cap B$: “Giáo viên môn Toán tham khảo cả hai bộ sách A và B”.

• C: “Giáo viên môn Toán tham khảo ít nhất một trong hai bộ sách A hoặc B” ($C = A \cup B$).

Theo dữ liệu thống kê, ta có các xác suất:

• $P(A) = 63\% = 0,63$

• $P(B) = 56\% = 0,56$

• $P(A \cap B) = 28,5\% = 0,285$

Bước 1: Tính tỉ lệ giáo viên tham khảo ít nhất một bộ sách

Áp dụng công thức cộng xác suất cho hai biến cố không xung khắc:

Bước 2: Tính tỉ lệ giáo viên không tham khảo cả hai bộ sách

Biến cố “Giáo viên không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B” chính là biến cố đối của $C$ (ký hiệu là $\overline{C}$).

Áp dụng công thức tính xác suất của biến cố đối:

Kết luận: Xác suất để một giáo viên được chọn ngẫu nhiên không tham khảo cả hai bộ sách là 0,095.

Tức là, tỉ lệ giáo viên môn Toán tại tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B là 9,5%.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Cụm từ "không tham khảo cả hai": Có nghĩa là không xem cuốn A và cũng không xem cuốn B. Đây là phần nằm ngoài hợp của hai tập hợp.

• Lưu ý về số thập phân: Khi tính toán với các con số như 28,5%, hãy đảm bảo đổi sang số thập phân đúng là 0,285 để tránh sai sót hàng đơn vị.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Lỗi tính lặp: Cộng trực tiếp 63% và 56% mà không trừ đi phần giao 28,5%. Việc này dẫn đến tổng tỉ lệ vượt quá 100%, một kết quả phi lý trong xác suất.

2. Nhầm lẫn khái niệm: Nhầm "không tham khảo cả hai" (phủ định của hợp) với "không tham khảo đồng thời cả hai" (phủ định của giao). Trong ngữ cảnh này, đề bài yêu cầu tìm những người hoàn toàn không dùng sách tham khảo A và B.

3. Đổi đơn vị sai: Viết 28,5% thành 0,28 hoặc 2,85 thay vì 0,285.

Mẹo giải nhanh bằng sơ đồ Venn

Các em có thể vẽ hai hình tròn lồng nhau đại diện cho sách A và sách B:

• Vùng chung ở giữa ghi: 28,5%.

• Vùng chỉ tham khảo sách A: $63\% - 28,5\% = 34,5\%$.

• Vùng chỉ tham khảo sách B: $56\% - 28,5\% = 27,5\%$.

• Tổng nhóm có tham khảo sách: $34,5\% + 28,5\% + 27,5\% = 90,5\%$.

• Nhóm không tham khảo gì: $100\% - 90,5\% = 9,5\%$.