Bài 8.8 trang 75 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Xác suất của biến cố hợp

Bài 8.8 trang 75 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một khu phố có 50 hộ gia đình nuôi chó hoặc nuôi mèo, trong đó có 18 hộ nuôi chó, 16 hộ nuôi mèo và 7 hộ nuôi cả chó và mèo. Chọn ngẫu nhiên một hộ trong khu phố trên. Tính xác suất để:

a) Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo;

b) Hộ đó không nuôi cả chó và mèo.

Phân tích lý thuyết

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định mối quan hệ giữa các tập hợp. Vì có những hộ nuôi cả hai loại thú cưng, nên biến cố "nuôi chó" và "nuôi mèo" là hai biến cố không xung khắc.

• Công thức cộng xác suất: Để tính xác suất của biến cố hợp (A hoặc B), ta lấy tổng xác suất từng biến cố trừ đi xác suất của phần giao (A và B).

  $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

• Biến cố đối: Được sử dụng để tính xác suất cho trường hợp phủ định "không...".

  $$P(\overline{D}) = 1 - P(D)$$

Giải bài 8.8 trang 75 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi các biến cố như sau:

• A: “Hộ gia đình được chọn nuôi chó”.

• B: “Hộ gia đình được chọn nuôi mèo”.

• C: “Hộ gia đình được chọn nuôi cả chó và mèo” ($C = A \cap B$).

• D: “Hộ gia đình được chọn nuôi chó hoặc nuôi mèo” ($D = A \cup B$).

a) Tính xác suất để hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo

• Không gian mẫu $n(\Omega) = 50$.

• Số hộ nuôi chó: $n(A) = 18 \Rightarrow P(A) = \frac{18}{50} = 0,36$.

• Số hộ nuôi mèo: $n(B) = 16 \Rightarrow P(B) = \frac{16}{50} = 0,32$.

• Số hộ nuôi cả hai: $n(C) = 7 \Rightarrow P(C) = \frac{7}{50} = 0,14$.

Áp dụng công thức cộng xác suất cho hai biến cố không xung khắc:

Kết luận: Xác suất để hộ được chọn nuôi chó hoặc nuôi mèo là 0,54 (hay $27/50$).

b) Tính xác suất để hộ đó không nuôi cả chó và mèo

Biến cố “Hộ đó không nuôi cả chó và mèo” chính là biến cố đối của biến cố $D$ (ký hiệu là $\overline{D}$). Đây là tập hợp các hộ gia đình không nuôi bất kỳ con vật nào trong hai loại trên.

Áp dụng công thức xác suất của biến cố đối:

Kết luận: Xác suất để hộ được chọn không nuôi cả chó và mèo là 0,46.

Tổng kết kiến thức

• Phép toán hợp ($\cup$): Tương ứng với từ "hoặc". Nhớ trừ đi phần giao để tránh tính lặp.

• Phép toán giao ($\cap$): Tương ứng với từ "và", "cả hai".

• Tính trực quan: Sử dụng sơ đồ Venn sẽ giúp các em không bị nhầm lẫn giữa các vùng dữ liệu (nuôi duy nhất 1 loài và nuôi cả 2 loài).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Tính lặp dữ liệu: Lấy $18 + 16 = 34$ hộ rồi tính xác suất mà quên không trừ đi 7 hộ nuôi cả hai. Điều này dẫn đến kết quả sai vì 7 hộ này đã nằm trong cả danh sách nuôi chó và nuôi mèo.

2. Nhầm lẫn không gian mẫu: Luôn đảm bảo mẫu số là tổng số hộ gia đình trong khu phố (50 hộ).

3. Sai lệch khi làm tròn: Nên để kết quả dưới dạng phân số tối giản hoặc số thập phân chính xác.

Mẹo giải nhanh bằng phương pháp phần tử

Các em có thể nhẩm nhanh số hộ nuôi ít nhất một loài bằng cách:

• Số hộ chỉ nuôi chó: $18 - 7 = 11$.

• Số hộ chỉ nuôi mèo: $16 - 7 = 9$.

• Số hộ nuôi cả hai: $7$.

• Tổng số hộ nuôi chó hoặc mèo: $11 + 9 + 7 = 27$ hộ.

• Xác suất: $27 / 50 = 0,54$.