Bài 8.11 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 8.11 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc với P(A) > 0, P(B) > 0. Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Phân tích và Phương pháp giải

Để chứng minh bài toán này, chúng ta cần dựa vào định nghĩa nền tảng của hai loại biến cố này:

• Biến cố xung khắc: $A$ và $B$ xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử. Về mặt tập hợp, $A \cap B = \emptyset$.

• Biến cố độc lập: $A$ và $B$ độc lập nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố kia. Điều kiện cần và đủ là:

  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Chiến thuật chứng minh: Chúng ta sẽ so sánh giá trị của $P(A \cap B)$ và tích $P(A) \cdot P(B)$. Nếu chúng khác nhau, hai biến cố đó không độc lập.

Giải bài 8.11 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi A ∩ B = ∅. Suy ra: P(AB) = 0.

Vì P(A) > 0, P(B) > 0 nên P(A) . P(B) > 0.

Do đó, P(AB) ≠ P(A) . P(B)

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.