Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm - Toán 10 chuyên đề

Nghe có vẻ "căng", nhưng thực tế đây lại là dạng toán giúp các em ghi điểm dễ dàng nếu nắm chắc kỹ năng giải hệ phương trình. Hãy cùng HayHocHoi "phá đảo" chuyên đề này nhé!

I. Lý thuyết về phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

Để giải quyết bài toán này, chúng ta không dùng dạng chính tắc $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ vì sẽ dẫn đến hệ phương trình bậc hai rất khó giải. Thay vào đó, "vũ khí" tối ưu chính là phương trình dạng tổng quát.

1. Phương trình tổng quát

Giả sử phương trình đường tròn $(C)$ có dạng:

Trong đó, điều kiện để biểu thức là một đường tròn là: $a^2 + b^2 - c > 0$.

2. Phương pháp giải (4 bước thần thánh)

• Bước 1: Gọi phương trình đường tròn $(C)$ dưới dạng tổng quát $(*)$.

• Bước 2: Lần lượt thay tọa độ của 3 điểm $A, B, C$ vào phương trình. Mỗi điểm sẽ cho ta một phương trình bậc nhất với 3 ẩn là $a, b, c$.

• Bước 3: Lập hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn từ các kết quả trên.

• Bước 4: Sử dụng máy tính cầm tay (Casio/Vinacal) để giải hệ phương trình. Tìm được $a, b, c$ rồi thay ngược lại vào phương trình $(*)$ để hoàn tất.

II. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Điểm tọa độ bất kỳ

Đề bài: Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua 3 điểm $A(-1; 3), B(3; 5), C(4; -2)$.

Lời giải:

Gọi $(C): x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$. Vì $(C)$ đi qua $A, B, C$ nên ta có hệ phương trình:

Giải hệ trên bằng máy tính, ta được: $a = \frac{7}{3}; b = \frac{4}{3}; c = -\frac{20}{3}$.

Kết luận: Phương trình đường tròn $(C)$ là: $x^2 + y^2 - \frac{14}{3}x - \frac{8}{3}y - \frac{20}{3} = 0$.

Ví dụ 2: Tọa độ điểm "đẹp"

Đề bài: Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua 3 điểm $A(2; 1), B(2; 5)$ và $C(-2; 1)$.

Lời giải:

Gọi $(C): x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$. Thay tọa độ các điểm vào phương trình:

• Với $A(2; 1): 4 + 1 - 4a - 2b + c = 0 \Rightarrow -4a - 2b + c = -5$

• Với $B(2; 5): 4 + 25 - 4a - 10b + c = 0 \Rightarrow -4a - 10b + c = -29$

• Với $C(-2; 1): 4 + 1 + 4a - 2b + c = 0 \Rightarrow 4a - 2b + c = -5$

Giải hệ 3 phương trình trên, ta thu được: $a = 0; b = 3; c = 1$.

Kết luận: Phương trình đường tròn $(C)$ là: $x^2 + y^2 - 6y + 1 = 0$.

Ví dụ 3: Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đề bài: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ biết $A(-2; 4), B(5; 5)$ và $C(6; -2)$.

Lời giải:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ chính là đường tròn đi qua 3 đỉnh $A, B, C$.

Gọi phương trình $(C): x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$. Ta có hệ:

Giải hệ phương trình, ta được kết quả: $a = 2; b = 1; c = -20$.

Kết luận: Phương trình đường tròn cần tìm là: $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$.

III. Những lưu ý "sống còn" để không mất điểm

1. Biến thể của phương trình tổng quát

Các em có thể gặp tài liệu viết phương trình dưới dạng: $x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0$. Cách làm hoàn toàn tương tự, chỉ khác là khi tìm ra $a, b$, tâm đường tròn sẽ là $I(-a; -b)$. Đừng quá lo lắng, kết quả cuối cùng của phương trình vẫn sẽ giống nhau!

2. Từ phương trình suy ra Tâm và Bán kính

Sau khi tìm được phương trình đường tròn dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$, các em có thể dễ dàng trả lời các câu hỏi phụ:

• Tọa độ tâm: $I(a; b)$.

• Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$.

Mẹo nhỏ: Trước khi giải hệ phương trình, hãy kiểm tra xem 3 điểm có thẳng hàng không. Nếu 3 điểm thẳng hàng, chúng ta không thể lập được đường tròn đâu nhé!