Bài 18 trang 58 Toán 9 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài 18 trang 58 Toán 9 tập 1 CTST:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left( a\sqrt{\frac{3}{a}} + 3\sqrt{\frac{a}{3}} + \sqrt{12a^3} \right) : \sqrt{3a}$ với $a > 0$

b) $\frac{1 - a}{1 + \sqrt{a}} + \frac{1 - a\sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}}$ với $a \ge 0; a \ne 1$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Câu a:

   • Biến đổi các căn thức: Đưa $a$ và $3$ vào trong căn, đồng thời đưa thừa số từ $\sqrt{12a^3}$ ra ngoài.

   • Cộng trừ căn thức đồng dạng: Rút gọn biểu thức trong ngoặc.

   • Thực hiện phép chia: Chia cho $\sqrt{3a}$.

2. Câu b:

   • Phân tích tử số: Sử dụng hằng đẳng thức $\mathbf{1 - a = (1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})}$ và $\mathbf{1 - a\sqrt{a} = 1 - (\sqrt{a})^3}$ (hằng đẳng thức hiệu hai lập phương) để rút gọn các phân thức.

   • Cộng các kết quả: Cộng hai phân thức đã được rút gọn.

Lời giải chi tiết bài 18 trang 58 Toán 9:

a) $\left( a\sqrt{\frac{3}{a}} + 3\sqrt{\frac{a}{3}} + \sqrt{12a^3} \right) : \sqrt{3a}$ với $a > 0$

Biến đổi từng số hạng trong ngoặc:

• $a\sqrt{\frac{3}{a}} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{3}{a}} = \sqrt{3a}$

• $3\sqrt{\frac{a}{3}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{a}{3}} = \sqrt{3a}$

• $\sqrt{12a^3} = \sqrt{4a^2 \cdot 3a} = 2a\sqrt{3a}$

Thay vào biểu thức:

Vậy kết quả là $2a + 2$.

b) $\frac{1 - a}{1 + \sqrt{a}} + \frac{1 - a\sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}}$ với $a \ge 0; a \ne 1$

Rút gọn từng phân thức:

• Phân thức thứ nhất: $\frac{1 - a}{1 + \sqrt{a}}$ $= \frac{(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})}{1 + \sqrt{a}} = 1 - \sqrt{a}$

• Phân thức thứ hai (sử dụng $1 - (\sqrt{a})^3$ $= (1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a} + a)$):

  $\frac{1 - a\sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}}$ $= \frac{1 - (\sqrt{a})^3}{1 - \sqrt{a}}$ $= \frac{(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a} + a)}{1 - \sqrt{a}}$ $= 1 + \sqrt{a} + a$

Cộng hai kết quả đã rút gọn:

Vậy kết quả là $2 + a$.