Giải biện luận hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn theo tham số m và Bài tập vận dụng - Toán 9 chuyên đề

Bài viết này sẽ giúp các em nắm vững phương pháp tìm điều kiện của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hay vô số nghiệm, kèm theo các bài tập vận dụng chi tiết.

I. Phương pháp giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

Để giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để đưa hệ phương trình về một phương trình bậc nhất một ẩn (giả sử theo ẩn $x$) có dạng: $ax + b = 0$ $(*)$.

• Bước 2: Xét phương trình bậc nhất $ax + b = 0$:

  • Trường hợp 1: Nếu $a \neq 0$ thì phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất $x = -b/a$. Từ đó thế ngược lại để tìm $y$. Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

  • Trường hợp 2: Nếu $a = 0$ và $b \neq 0$ thì phương trình $(*)$ vô nghiệm. Khi đó hệ phương trình vô nghiệm.

  • Trường hợp 3: Nếu $a = 0$ và $b = 0$ thì phương trình $(*)$ có vô số nghiệm. Khi đó hệ phương trình vô số nghiệm.

• Bước 3: Tổng hợp và kết luận nghiệm của hệ theo tham số $m$.

II. Bài tập vận dụng chi tiết

Bài tập 1: Giải và biện luận hệ phương trình theo $m$

Cho hệ phương trình:

Lời giải:

Từ (1) ta có: $y = (m+1)x - (m+1)$ (3). Thế vào (2) ta được:

• TH1: Nếu $m^2 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 0$: Phương trình (4) có nghiệm $x = \frac{m^2+1}{m^2}$.

  Thay vào (3): $y = (m+1)\frac{m^2+1}{m^2} - (m+1)$ $= \frac{(m+1)(m^2+1) - m^2(m+1)}{m^2} = \frac{m+1}{m^2}$.

  Hệ có nghiệm duy nhất: $(x; y) = \left(\frac{m^2+1}{m^2}; \frac{m+1}{m^2}\right)$.

• TH2: Nếu $m = 0$: Phương trình (4) trở thành $0x = 1$ (vô lý). Hệ vô nghiệm.

  Kết luận: Với $m \neq 0$ hệ có nghiệm duy nhất; với $m = 0$ hệ vô nghiệm.

Bài tập 2: Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm

Cho hệ:

Lời giải:

Từ phương trình đầu ta có $3y = -mx - 2 \Leftrightarrow 6y = -2mx - 4$. Thế vào phương trình sau:

• a) Hệ có nghiệm duy nhất: Khi $m^2 + 2m \neq 0 \Leftrightarrow m(m+2) \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 0$ và $m \neq -2$.

• b) Hệ có vô số nghiệm: Khi $m^2 + 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0$ hoặc $m = -2$.

Bài tập 3: Biện luận hệ phương trình đơn giản

Cho hệ:

Lời giải:

Thay $y = 1 - x$ vào phương trình sau: $mx + 2(1-x) = m \Leftrightarrow (m-2)x = m-2$.

• a) Nghiệm duy nhất: Khi $m-2 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 2$. Nghiệm là $(x; y) = (1; 0)$.

• b) Vô số nghiệm: Khi $m-2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$.

Bài tập 4: Hệ luôn có nghiệm duy nhất

Cho hệ:

Lời giải:

• a) Chứng minh luôn có nghiệm duy nhất:

  Từ $y = mx + m$ thế vào $x + my = 1 \Rightarrow x + m(mx+m) = 1 \Leftrightarrow (m^2+1)x = 1-m^2$.

  Vì $m^2+1 > 0$ với mọi $m$ nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất $x = \frac{1-m^2}{m^2+1}$, suy ra $y = \frac{2m}{m^2+1}$.

• b) Nghiệm thuộc góc phần tư thứ I ($x > 0, y > 0$):

  $$\begin{cases} 1-m^2 > 0 \\ 2m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -1 < m < 1 \\ m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < 1$$

III. Bài tập tự luyện

Các em hãy vận dụng phương pháp trên để giải các bài tập sau:

• Bài tập 5: Tìm $m$ để hệ $\begin{cases} x+my=11 \\ 5x-3y=m+1 \end{cases}$ có nghiệm.

• Bài tập 6: Tìm $m$ để hệ $\begin{cases} 3mx+5y=1 \\ 2x+my=-4 \end{cases}$ có nghiệm duy nhất.

• Bài tập 7: Tìm $m$ để hệ $\begin{cases} x-3y=m \\ -5x+15y=-20 \end{cases}$ vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.

• Bài tập 8: Tìm $m$ để hệ $\begin{cases} mx+2y=5 \\ 2x+y=m \end{cases}$ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.