Bài 6 trang 20 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích V (lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng t (phút) được cho bởi công thức

V(t) = 300(t² - t³) + 4 với 0 ≤ t ≤ 0,5 (nguồn: R.I.Charles et al., Algebra, Pearson)

a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?

b) Sau khi bơm 30 giấy thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?

c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi V'(t) là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm t với 0 ≤ t ≤ 0,5. Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính thể tích ban đầu: Thể tích ban đầu tương ứng với thời điểm t = 0.

2. Tính dung tích bình xăng: 30 giây tương ứng với 0,5 phút. Dung tích bình xăng là thể tích tại t = 0,5.

3. Tìm tốc độ tăng thể tích lớn nhất:

   • Tốc độ tăng thể tích V'(t) là đạo hàm của hàm thể tích V(t).

   • Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm V'(t) trên đoạn [0; 0,5].

   • Để tìm giá trị lớn nhất, ta sẽ tính đạo hàm của V'(t), tức là V''(t), sau đó lập bảng biến thiên để xác định điểm cực trị.

Lời giải chi tiết:

a) Thời điểm ban đầu: t = 0 nên

V(0) = 300(0² - 0³) + 4 = 4 (lít)

Ban đầu trong bình xăng có 4 lít

b) Sau khi bơm 30 giây (= 0,5 phút) thì bình xăng đầy, nên có:

V(0,5) = 300(0,5² - 0,5³) + 4 = 300.0,125 + 4 = 37,5 + 4 = 41,5 (lít)

Vậy dung tích của bình xăng trong xe là 41,5 (lít)

c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi V'(t) là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm t với 0 ≤ t ≤ 0,5. Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?

a có V'(t) = 300(2t – 3t²) với t ∈ [0; 0,5].

Có V''(t) = 300(2 – 6t).

Khi đó, trên khoảng (0; 0,5),

V"(t) = 0 khi t = $\frac{\mathrm{1/}}{3}$ .

V'(0) = 0, 

$V\text{'}\left(\frac{\mathrm{1/}}{3}\right)=100$ , V'(0,5) = 75.

Do đó, $\underset{\left[0;0,5\right]}{max}$V'(t) = 100 tại t = $\frac{\mathrm{1/}}{3}$.

Vậy, xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm 1/3​ phút (tức là 20 giây) có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.