Bài 10 trang 47 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích 384 cm². Sau khi để lề trên và lề dưới đều là 3 cm, để lề trái và lề phải đều là 2 cm. Phần còn lại của trang sách được in chữ. Kích thước tối ưu của trang sách là bao nhiêu để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Thiết lập hàm mục tiêu: Gọi $x, y$ là kích thước trang sách. Diện tích trang sách: $x y = 384$.

2. Kích thước phần in chữ: Chiều dài phần in chữ là $x - 2(2) = x - 4$. Chiều rộng phần in chữ là $y - 2(3) = y - 6$.

   • Lưu ý: Trong lời giải mẫu, lề trái/phải là 2 cm, lề trên/dưới là 3 cm. Chiều dài trang sách ($x$) tương ứng với lề trái/phải. Chiều rộng trang sách ($y$) tương ứng với lề trên/dưới.

   • Theo lời giải mẫu: $x$ (chiều dài) ứng với lề $3 \text{ cm}$ (trên/dưới), $y$ (chiều rộng) ứng với lề $2 \text{ cm}$ (trái/phải). Ta sẽ tuân theo ký hiệu của lời giải mẫu (hoặc đảo lại cho hợp lý).

   • Giả định lại theo tiêu chuẩn hình học:

     • Chiều dài trang sách: $x$

     • Chiều rộng trang sách: $y$

     • Lề trên/dưới: $3 \text{ cm}$. Lề trái/phải: $2 \text{ cm}$.

   $\Rightarrow$ Kích thước phần in chữ: $x' = x - 2(2) = x - 4$ (trái/phải); $y' = y - 2(3) = y - 6$ (trên/dưới).

   • Điều kiện: $x > 4$, $y > 6$.

3. Hàm diện tích $S(x)$: Biểu diễn diện tích phần in chữ $S = x'y'$ theo một biến $x$ bằng cách thế $y = \frac{384}{x}$.

4. Tìm GTLN: Tìm cực trị của $S(x)$ và so sánh với giá trị tại mút (nếu có).

Lời giải chi tiết:

Gọi x, y (cm) lần lượt là khích thước chiều dài và chiệu rộng của trang giấy (x > 6, y > 4).

Phần in chữ là: x - 6 và y - 4

Theo đề ra: xy = 384 (cm²) suy ra: y = 384/x

Diện tích phần in chữ là: 

Lập bảng biến thiên:

Suy ra:

Để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất thì kích thước tối ưu của trang sách là 24 và 16