Bài 8 trang 47 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) f(x) = 2x³ - 6x trên đoạn [-1; 3]

b)  trên đoạn [1; 5]

c)  trên đoạn [0; 3]

d) f(x) = 2sin3x + 7x + 1 trên đoạn [-π/2; π/2]

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để tìm $\max$ và $\min$ của $f(x)$ trên $[a; b]$, ta thực hiện các bước:

1. Tính đạo hàm $\mathbf{f'(x)}$.

2. Giải phương trình $\mathbf{f'(x) = 0}$ để tìm các nghiệm $\mathbf{x_i}$ thuộc $\mathbf{(a; b)}$.

3. Tính các giá trị $\mathbf{f(a), f(b)}$ và $\mathbf{f(x_i)}$.

4. So sánh các giá trị đó để kết luận $\max$ và $\min$.

Lời giải chi tiết:

a) f(x) = 2x³ - 6x trên đoạn [-1; 3]

Ta có: f'(x) = 6x - 6 = 0 ⇔ x = 1

f(-1) = 2.(-1)³ - 6.(-1) = 4

f(1) = 2.(1)³ - 6.1 = -4

f(3) = 2.(3)³ - 6.3 = 36

Vậy  và

b)  trên đoạn [1; 5]

Ta có: 

Khi đó trên khoảng (1; 5), không tồn tại x để f'(x) = 0.

f(1) = 10/3;

f(5) = 46/7;

Vậy:  tại x = 5;  tại x = 1.

c)  trên đoạn [0; 3]

Ta có:

Khi đó trên khoảng (0; 3), f'(x) = 0 khi x = e – 1.

f(0) = 0; f(e – 1) = 1/(e + 1);  f(3) = ln4/4.

 tại x = 3

 tại x = 0

d) f(x) = 2sin3x + 7x + 1 trên đoạn [-π/2; π/2]

Ta có f'(x) = 6cos 3x + 7. Khi đó trên khoảng  [-π/2; π/2] ta có f'(x) > 0.

; 

Vậy, ta có: 

 tại x = π/2

 tại x = -π/2