Hotline 0936685849

Bài 7 trang 46 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

12:24:0331/03/2024

Bài toán yêu cầu tìm các đường tiệm cận đứng (TCĐ) và tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị các hàm số. Ta sẽ sử dụng giới hạn tại các điểm làm hàm số không xác định để tìm TCĐ, và tìm giới hạn của hiệu $\mathbf{y - (ax+b)}$ khi $\mathbf{x \to \pm\infty}$ để tìm TCX.

Đề bài:

Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y=x-3+\frac{1}{x^2}$

b) $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}$

c) $y=\frac{2x^2-x+3}{2x+1}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Tiệm cận đứng (TCĐ): Tìm $x_0$ làm mẫu số bằng 0. Nếu $\mathbf{\lim_{x \to x_0^\pm} y = \pm\infty}$ , thì $\mathbf{x = x_0}$ là TCĐ.
Tiệm cận xiên (TCX): Đường thẳng $\mathbf{y = ax + b}$ là TCX nếu $\mathbf{\lim_{x \to \pm\infty} [y - (ax + b)] = 0}$ . Đối với hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất, TCX được tìm bằng phép chia đa thức (tách phần nguyên).

Lời giải chi tiết:

a) $y=x-3+\frac{1}{x^2}$

Tập xác định của hàm số là ℝ \ {0}.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to0^-}y=\lim_{x\to0^-}\left(x-3+\frac{1}{x^2}\right)=+\infty$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to0^+}y=\lim_{x\to0^+}\left(x-3+\frac{1}{x^2}\right)=+\infty$

Nên đường thẳng x = 0 (hay trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[y-(x-3)]=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}[y-(x-3)]=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^2}=0$

Nên đường thẳng y = x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}$

Tập xác định của hàm số là ℝ \ {1}.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to1^-}y=\lim_{x\to1^-}\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=-\infty$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to1^+}y=\lim_{x\to1^+}\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=+\infty$

Nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-3x+2}{x(x-1)}=2$

$\small\:b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(y-ax)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\frac{2x^2-3x+2}{x-1}-2x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+2}{x-1}=-1$

Vậy đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Lưu ý: Các em có thể viết lại Hàm số đã cho thành: $y=2x-1+\frac{1}{x-1}$ và tìm tiện cận xiên như câu a).

c) $y=\frac{2x^2-x+3}{2x+1}$

Tập xác định của hàm số là R\{-1/2}

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\frac{1}{2}^-}y=\lim_{x\to-\frac{1}{2}^-}\frac{2x^2-x+3}{2x+1}=-\infty$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\frac{1}{2}^+}y=\lim_{x\to-\frac{1}{2}^+}\frac{2x^2-x+3}{2x+1}=+\infty$

Nên đường thẳng x = -1/2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Hàm số được viết lại thành: $y=x-1+\frac{4}{2x+1}$

Có: $\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[y-(x-1)]=\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{2x+1}=0$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}[y-(x-1)]=\lim_{x\to-\infty}\frac{4}{2x+1}=0$

Nên đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Việc tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên đòi hỏi phải thực hiện phép chia đa thức và xét giới hạn tại các điểm gián đoạn hoặc vô cực.

a) $\mathbf{y = x - 3 + \frac{1}{x^2}}$ : TCĐ: $\mathbf{x = 0}$ (trục $Oy$ ); TCX: $\mathbf{y = x - 3}$ .
b) $\mathbf{y = \frac{2x^2 - 3x + 2}{x - 1}}$ : TCĐ: $\mathbf{x = 1}$ ; TCX: $\mathbf{y = 2x - 1}$ .
c) $\mathbf{y = \frac{2x^2 - x + 3}{2x + 1}}$ : TCĐ: $\mathbf{x = -\frac{1}{2}}$ ; TCX: $\mathbf{y = x - 1}$ .