Bài 14 trang 83 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

21:02:2931/03/2024

Bài tập này là một bài toán tổng hợp các kỹ năng quan trọng trong hình học giải tích $Oxyz$ , bao gồm: chứng minh ba điểm không thẳng hàng, tìm tọa độ đỉnh thứ tư của hình bình hành, tính trọng tâm, tính chu vi tam giác và xác định cosin của một góc. Tất cả các phần đều được giải quyết thông qua việc sử dụng tọa độ điểm và công thức vectơ.

Đề bài:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2; 0; -3), B(0; -4; 5) và C(-1; 2; 0)

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

c) Tìm tạo độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tính chu vi của tam giác ABC

e) Tính cos $\widehat{BAC}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Vectơ cơ sở: Tính $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ .
Thẳng hàng (a): Kiểm tra tỉ lệ tọa độ của $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ . Nếu tỉ lệ không bằng nhau, ba điểm không thẳng hàng.
Hình bình hành (b): Dùng điều kiện $\vec{AB} = \vec{DC}$ để tìm tọa độ $D$ .
Trọng tâm (c): Áp dụng công thức $x_G = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}$ .
Chu vi (d): Tính độ dài $AB, AC, BC$ . Chu vi $C = AB + AC + BC$ .
Cosin góc (e): Dùng công thức $\cos\widehat{BAC} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Chứng Minh Ba Điểm $A, B, C$ Không Thẳng Hàng

Ta có vectơ:

\vec{AB}=(0-2; -4-0; 5-(-3)) = (-2;-4;8)

\vec{AC}=(-1-2; 2-0; 0-(-3)) = (-3;2;3)

Giả sử $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương, tồn tại $k \in \mathbb{R}$ sao cho $\vec{AB}=k\vec{AC}$:

\vec{AB}=(-2;-4;8) = k\vec{AC}=(-3k;2k;3k)

\begin{cases} -2 = -3k \implies k = 2/3 \\ -4 = 2k \implies k = -2 \\ 8 = 3k \implies k = 8/3 \end{cases}

Vì giá trị $k$ không đồng nhất, nên hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ không cùng phương với mọi $k \in \mathbb{R}$.

Vậy ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.

b) Tìm Tọa Độ Điểm $D$ để $ABCD$ là Hình Bình Hành

Gọi tọa độ điểm $D$ là $(x_D; y_D; z_D)$. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\vec{AB}=\vec{DC}$.

Ta có $\vec{AB}=(-2;-4;8)$.

\vec{DC}=(-1-x_D; 2-y_D; 0-z_D)

Vì $\vec{AB}=\vec{DC}$, ta có hệ phương trình:

\begin{cases} -2 = -1 – x_D \implies x_D = 1 \\ -4 = 2 – y_D \implies y_D = 6 \\ 8 = – z_D \implies z_D = – 8 \end{cases}

Vậy $D(1; 6; – 8)$ .

c) Tìm Tọa Độ Trọng Tâm $G$ của Tam Giác $ABC$

Gọi tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $(x_G; y_G; z_G)$.

x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{2+0+(-1)}{3}=\frac{1}{3}

y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{0+(-4)+2}{3}=\frac{-2}{3}

z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{-3+5+0}{3}=\frac{2}{3}

Vậy trọng tâm $G$ là $G\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$ .

d) Tính Chu Vi của Tam Giác $ABC$

Chu vi tam giác $ABC$ là $C = AB + AC + BC$.

Độ dài các cạnh:

AB = |\vec{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+8^2}=\sqrt{4+16+64}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}

AC = |\vec{AC}|=\sqrt{(-3)^2+2^2+3^2}=\sqrt{9+4+9}=\sqrt{22}

Ta có $\vec{BC}=(-1-0; 2-(-4); 0-5) = (-1; 6; -5)$.

BC = |\vec{BC}|=\sqrt{(-1)^2+(6)^2+(-5)^2}=\sqrt{1+36+25}=\sqrt{62}

Chu vi tam giác $ABC$ là $C = AB + AC + BC = 2\sqrt{21}+\sqrt{22}+\sqrt{62}$ .

e) Tính $\cos\widehat{BAC}$

Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$:

\cos\widehat{BAC} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}

Ta có tích vô hướng:

\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2)(-3) + (-4)(2) + (8)(3) = 6 - 8 + 24 = 22

Ta có $|\vec{AB}|=\sqrt{84}$ và $|\vec{AC}|=\sqrt{22}$.

\cos\widehat{BAC} = \frac{22}{\sqrt{84} \cdot \sqrt{22}} = \frac{22}{\sqrt{4 \cdot 21 \cdot 22}} = \frac{22}{2\sqrt{462}} = \frac{11}{\sqrt{462}}

Bài toán tổng hợp về tam giác $ABC$ trong $Oxyz$ đã cho các kết quả sau:

Đỉnh $D$ của hình bình hành $ABCD$ : $\mathbf{D(1; 6; – 8)}$ .
Trọng tâm $G$ : $\mathbf{G\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)}$ .
Chu vi: $\mathbf{C = 2\sqrt{21}+\sqrt{22}+\sqrt{62}}$ .
$\cos\widehat{BAC}$ : $\mathbf{\frac{\sqrt{462}}{42}}$ .