Bài 14 trang 83 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2; 0; -3), B(0; -4; 5) và C(-1; 2; 0)

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

c) Tìm tạo độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tính chu vi của tam giác ABC

e) Tính cos

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Vectơ cơ sở:Tính$\vec{AB}$và$\vec{AC}$.

2. Thẳng hàng (a):Kiểm tra tỉ lệ tọa độ của$\vec{AB}$và$\vec{AC}$.Nếu tỉ lệ không bằng nhau,ba điểm không thẳng hàng.

3. Hình bình hành (b):Dùng điều kiện$\vec{AB} = \vec{DC}$để tìm tọa độ$D$.

4. Trọng tâm (c):Áp dụng công thức$x_G = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}$.

5. Chu vi (d):Tính độ dài$AB, AC, BC$.Chu vi$C = AB + AC + BC$.

6. Cosin góc (e):Dùng công thức$\cos\widehat{BAC} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng Minh Ba Điểm $A, B, C$ Không Thẳng Hàng

Ta có vectơ:

Giả sử $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương, tồn tại $k \in \mathbb{R}$ sao cho $\vec{AB}=k\vec{AC}$:

Vì giá trị $k$ không đồng nhất, nên hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ không cùng phương với mọi $k \in \mathbb{R}$.

Vậy ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.

b) Tìm Tọa Độ Điểm $D$ để $ABCD$ là Hình Bình Hành

Gọi tọa độ điểm $D$ là $(x_D; y_D; z_D)$. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\vec{AB}=\vec{DC}$.

Ta có $\vec{AB}=(-2;-4;8)$.

Vì $\vec{AB}=\vec{DC}$, ta có hệ phương trình:

Vậy $D(1; 6; – 8)$.

c) Tìm Tọa Độ Trọng Tâm $G$ của Tam Giác $ABC$

Gọi tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $(x_G; y_G; z_G)$.

Vậy trọng tâm $G$ là $G\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$.

d) Tính Chu Vi của Tam Giác $ABC$

Chu vi tam giác $ABC$ là $C = AB + AC + BC$.

Độ dài các cạnh:

Ta có $\vec{BC}=(-1-0; 2-(-4); 0-5) = (-1; 6; -5)$.

Chu vi tam giác $ABC$ là $C = AB + AC + BC = 2\sqrt{21}+\sqrt{22}+\sqrt{62}$.

e) Tính $\cos\widehat{BAC}$

Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$:

Ta có tích vô hướng:

Ta có $|\vec{AB}|=\sqrt{84}$ và $|\vec{AC}|=\sqrt{22}$.