Bài 3 trang 63 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

a) ; 

b) Các góc: ; 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Tính tích vô hướng (Phần a): Biến đổi các vectơ để chúng có cùng điểm đầu (hoặc cùng phương) để dễ dàng xác định góc $\theta$ và độ dài. Công thức: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$.

2. Tính góc (Phần b): Sử dụng phép tịnh tiến vectơ để đưa chúng về cùng một điểm đầu, hoặc chứng minh tam giác tạo bởi ba đỉnh liên quan là tam giác đặc biệt (ví dụ: tam giác đều).

Lời giải chi tiết:

a) Tính $\vec{A'B} \cdot \vec{D'C'}$ và $\vec{D'A} \cdot \vec{BC}$

1. Tính $\vec{A'B} \cdot \vec{D'C'}$

• Độ dài:

  • $||\vec{D'C'}|| = D'C' = a$.

  • $\vec{A'B}$ là đường chéo mặt bên $A'B'BA$: $||\vec{A'B}|| = A'B = \sqrt{A'A^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

• Góc: Ta tịnh tiến $\vec{A'B}$ về điểm $D'$. Ta có $\vec{A'B} = \vec{D'C}$.

  $$\left(\vec{A'B}, \vec{D'C'}\right) = \left(\vec{D'C}, \vec{D'C'}\right) = \widehat{C D' C'}$$

  Vì $CDD'C'$ là hình vuông, $\widehat{C D' C'}$ là góc giữa cạnh và đường chéo.

  $$\widehat{C D' C'} = 45^\circ$$

• Tích vô hướng:

  $$\vec{A'B} \cdot \vec{D'C'} = ||\vec{A'B}|| \cdot ||\vec{D'C'}|| \cdot \cos 45^\circ$$
  $$\vec{A'B} \cdot \vec{D'C'} = (a\sqrt{2}) \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2$$

2. Tính $\vec{D'A} \cdot \vec{BC}$

• Ta có $\vec{D'A} \cdot \vec{BC} = -\left(\vec{AD'} \cdot \vec{BC}\right)$.

  Ta có: $\vec{AD'} = \vec{BC'}$.

  Do đó, $(\vec{AD'}, \vec{BC}) = (\vec{BC'}, \vec{BC}) = \widehat{C'BC}$.

  Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $CBB'C'$ là hình vuông.

  Suy ra $\widehat{C'BC} = 45^\circ$.

  Vậy $(\vec{AD'}, \vec{BC}) = 45^\circ$.

  Ta có $|\vec{AD'}| = AD' = \sqrt{DD'^2+DA^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$, $|\vec{BC}| = BC = a$.

  Do đó, $\vec{AD'} \cdot \vec{BC} = |\vec{AD'}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\vec{AD'}, \vec{BC}) = a\sqrt{2} \cdot a \cdot \cos45^\circ = a^2$.

  Vậy $\vec{D'A} \cdot \vec{BC} = -\left(\vec{AD'} \cdot \vec{BC}\right) = -a^2$.

b) Tính các góc $(\vec{A'D}, \vec{B'C'})$ và $(\vec{AD'}, \vec{BD})$

1. Góc $(\vec{A'D}, \vec{B'C'})$

Ta tịnh tiến $\vec{B'C'}$ về điểm $A'$: $\vec{B'C'} = \vec{A'D'}$.

Vì $A'D'DA$ là hình vuông, $\widehat{D A' D'}$ là góc giữa hai đường chéo.

2. Góc $(\vec{AD'}, \vec{BD})$

Ta tịnh tiến $\vec{AD'}$ về điểm $B$: $\vec{AD'} = \vec{BC'}$.

Xét $\triangle C'BD$:

• $BC'$ là đường chéo mặt bên: $BC' = a\sqrt{2}$.

• $BD$ là đường chéo mặt đáy: $BD = a\sqrt{2}$.

• $C'D$ là đường chéo mặt bên: $C'D = a\sqrt{2}$.

Vì $BC' = BD = C'D = a\sqrt{2}$, nên $\triangle C'BD$ là tam giác đều.