Bài 9 trang 73 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

16:39:2731/03/2024

Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết Bài 9 trang 73 trong sách giáo khoa Toán 12 tập 1, bộ sách Cánh Diều. Bài toán này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về tọa độ điểm và phép toán vectơ trong không gian Oxyz, thông qua một bài toán thực tế về lắp đặt camera.

Đề bài:

Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.

Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm M(90; 0; 30), N(90; 120; 30), P(0; 120; 30), Q(0; 0; 30) (Hình 34).

Bài 9 trang 73 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giả sử K_o là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và K_oM = K_oN = K_oP = K_oQ. Để theo dõi quả bóng đến vị trí A, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm K₁ cao đọ bằng 19

Tìm tọa độ các điểm K_o, K₁ và của vectơ $\overrightarrow{K_oK_1}$

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

**Tìm tọa độ của $K_0$ : **
- Vị trí $K_0$ cách đều bốn điểm $M,N,P,Q$ . Bốn điểm này tạo thành một hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy).
- Điểm cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật chính là tâm của hình chữ nhật đó, tức là giao điểm của hai đường chéo.
- Tọa độ của tâm hình chữ nhật là trung bình cộng tọa độ các đỉnh đối diện.
- Sau khi tìm được hoành độ và tung độ, ta kết hợp với cao độ đã cho để tìm tọa độ của $K_0$ .
**Tìm tọa độ của $K_1$ : **
- Vì camera hạ thấp theo phương thẳng đứng, nên hoành độ và tung độ của $K_1$ sẽ giống với $K_0$ .
- Cao độ của $K_1$ đã được cho trong đề bài.
**Tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{K_0K_1}$ : **
- Áp dụng công thức tính tọa độ vectơ: $$\overrightarrow{K_0K_1}=(x_{K_1}-x_{K_0};\,y_{K_1}-y_{K_0};z_{K_1}-z_{K_0})$ .

Lời giải chi tiết:

1. Tìm tọa độ của điểm $K_0$

Các đỉnh của bốn chiếc cột là $M(90;0;30)$,$N(90;120;30)$,$P(0;120;30)$,$Q(0;0;30)$ .
Bốn điểm này cùng có cao độ bằng 30, nên chúng tạo thành một hình chữ nhật trong mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy.
Vị trí $K_0$ cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật, nên $K_0$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa hình chữ nhật và đi qua tâm của hình chữ nhật đó.
Tâm của hình chữ nhật MNPQ là trung điểm của đường chéo MP (hoặc NQ).
Tọa độ tâm $K'$ của hình chữ nhật là:
- Hoành độ: $x_{K'}=\frac{x_M+x_P}{2}=\frac{90+0}{2}=45$ .
- Tung độ: $y_{K'}=\frac{y_M+y_P}{2}=\frac{0+120}{2}=60$ .
- Cao độ: $z_{K'}=30$ .
- Vậy $K'(45;60;30)$ .
Vì $K_0$ cách đều bốn điểm và có cao độ 25, nên hoành độ và tung độ của $K_0$ chính là hoành độ và tung độ của tâm hình chữ nhật. Vậy, tọa độ của $K_0$ là $(45;60;25)$ .

2. Tìm tọa độ của điểm $K_1$

Camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng từ $K_0$ xuống $K_1$ .
Do đó, hoành độ và tung độ của $K_1$ bằng với $K_0$ .
- $x_{K_1}=x_{K_0}=45$ .
- $y_{K_1}=y_{K_0}=60$ .
Cao độ của $K_1$ đã cho là 19.
Vậy, tọa độ của $K_1$ là $(45;60;19)$ .

3. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{K_0K_1}$

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{K_0K_1}$ được tính bằng công thức:

$\overrightarrow{K_0K_1}=(x_{K_1}-x_{K_0};y_{K_1}-y_{K_0};z_{K_1}-z_{K_0})$

Thay tọa độ của $K_0$ và $ vào:

$\overrightarrow{K_0K_1}=(45-45;60-60;19-25)=(0;0;-6)$

Vậy, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{K_0K_1}$ là $(0;0;-6)$ .

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện được cách xác định tọa độ điểm trong không gian Oxyz và thực hiện các phép toán vectơ. Việc nắm vững các khái niệm hình học và chuyển đổi chúng sang ngôn ngữ tọa độ là chìa khóa để giải quyết bài toán một cách chính xác.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 72 Toán 12 Tập 1 Cánh diều: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3). Tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA}$ là: A. (1; 2; 3)...