Bài 7 trang 81 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C(4; 5; -5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác  vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a)  và 

b)  và 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Tính Tọa độ các Vectơ Liên quan

Từ tọa độ điểm, ta xác định các vectơ cơ sở của hình hộp:

• Vectơ $\vec{AC}$: Vì $ABCD$ là hình bình hành, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

  $$\vec{AC} = (1+0; 1+(-1); 1+0) = (1; 0; 1)$$

• Vectơ $\vec{BD}$ và $\vec{B'D'}$: Vì $\vec{B'D'} = \vec{BD}$, ta tính $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.

  $$\vec{BD} = (0-1; -1-1; 0-1) = (-1; -2; -1)$$
  $$\vec{B'D'} = (-1; -2; -1)$$

• Vectơ $\vec{AC'}$: Sử dụng $A(1; 0; 1)$ và $C'(4; 5; -5)$ (theo giả định của bài giải mẫu):

  $$\vec{AC'} = (4-1; 5-0; -5-1) = (3; 5; -6)$$

2. Phương pháp Tìm Vectơ Vuông Góc

Vectơ $\vec{c}$ vuông góc với hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ chính là tích có hướng $\vec{c} = \vec{u} \wedge \vec{v}$.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm vectơ vuông góc với $\vec{AC}$ và $\vec{B'D'}$

Ta có:

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $ABCD$ là hình bình hành, do đó

Ta có $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = (0-1; -1-1; 0-1) = (-1; -2; -1)$.

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\vec{B'D'}=\vec{BD}=(-1;-2;-1)$.

Gọi $\vec{a}=(x; y; z)$ là vectơ cần tìm. $\vec{a}$ vuông góc với $\vec{AC}$ và $\vec{B'D'}$ nên:

Từ $x+z=0$ suy ra $z=-x$. Thay vào phương trình thứ hai:

Chọn $x=2$, suy ra $z=-2$, $y=0$.

Chọn $\vec{a}=(2;0;-2)$, vectơ $\vec{a}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{B'D'}$.

b) Tìm vectơ vuông góc với $\vec{AC'}$ và $\vec{BD}$

Ta có tọa độ các vectơ:

(tính từ câu a)

Gọi $\vec{b}=(x; y; z)$ là vectơ cần tìm. $\vec{b}$ vuông góc với $\vec{AC'}$ và $\vec{BD}$ nên:

Từ phương trình thứ hai, suy ra $-z = x + 2y \Leftrightarrow z = -x - 2y$. Thay vào phương trình thứ nhất:

Chọn $y=9$, suy ra $9x = -17(9) \Leftrightarrow x = -17$.

Thay $x=-17, y=9$ vào $z = -x - 2y$:

Chọn $\vec{b}=(-17;9;-1)$, vectơ $\vec{b}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{AC'}$ và $\vec{BD}$.