Bài 5 trang 64 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dsangj hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60^o (Hình 16). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng , , ,  đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng khung sắt là 3 000 N.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Phân tích Điều kiện Cân bằng và Hình học

1. Cân bằng lực: Khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng, do đó tổng các lực căng $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}, \vec{F_4}$ phải cân bằng với trọng lực tổng cộng $\vec{P}$ tác dụng lên hệ thống (ô tô + khung sắt):

   $$\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}+\vec{F_4}=\vec{P}$$

2. Mô hình Vectơ: Gọi $A_1, B_1, C_1, D_1$ lần lượt là các điểm sao cho $\vec{EA_1} = \vec{F_1}, \vec{EB_1} = \vec{F_2}, \vec{EC_1} = \vec{F_3}, \vec{ED_1} = \vec{F_4}$. Các điểm $A_1, B_1, C_1, D_1$ tạo thành một hình chữ nhật (đồng dạng với $ABCD$) trên một mặt phẳng song song với $(ABCD)$.

3. Tính Tổng vectơ lực: Vì các dây cáp có độ dài bằng nhau và tạo góc bằng nhau với mặt phẳng, điểm $E$ sẽ chiếu vuông góc xuống tâm $O$ của hình chữ nhật $A_1B_1C_1D_1$. Tổng bốn vectơ lực $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}+\vec{F_4}$ sẽ có phương thẳng đứng, cùng phương và ngược chiều với $\vec{P}$.

   • Ta chứng minh được: $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}+\vec{F_4}=4\vec{EO}$.

   • Trọng lượng tổng cộng sẽ là: $|\vec{P}| = 4 \cdot EO$.

4. Tính độ dài $EO$: Sử dụng tam giác vuông $EOA_1$ và góc nghiêng $60^\circ$:

   $$EO = EA_1 \sin 60^\circ$$

Hướng dẫn các bước giải

1. Thiết lập mối quan hệ giữa tổng các vectơ lực căng và vectơ $\vec{EO}$.

2. Tính độ dài $EO$ dựa trên cường độ lực căng $EA_1 = 4\,700\,\text{N}$ và góc $60^\circ$.

3. Tính trọng lượng tổng cộng $|\vec{P}|$.

4. Tính trọng lượng ô tô bằng cách trừ đi trọng lượng khung sắt.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa:

Gọi $A_1, B_1, C_1, D_1$ lần lượt là các điểm sao cho

Vì $EA, EB, EC, ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $60^\circ$ nên $EA_1, EB_1, EC_1, ED_1$ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(A_1B_1C_1D_1)$ một góc bằng $60^\circ$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $A_1B_1C_1D_1$ cũng là hình chữ nhật.

Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật $A_1B_1C_1D_1$.

Ta suy ra $EO \perp (A_1B_1C_1D_1)$.

Do đó, góc giữa đường thẳng $EA_1$ và mặt phẳng $(A_1B_1C_1D_1)$ bằng góc $EA_1O$.

Suy ra $\widehat{EA_1O}=60^\circ$.

Ta có $EA_1 = |\vec{F_1}| = 4\,700$, nên $EA_1 = EB_1 = EC_1 = ED_1 = 4\,700$.

Tam giác $EOA_1$ vuông tại $O$ nên $EO = EA_1 \sin\widehat{EA_1O} = 4\,700 \sin 60^\circ = 2\,350\sqrt{3}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\vec{EA_1}=\vec{EO}+\vec{OA_1}$, $\vec{EB_1}=\vec{EO}+\vec{OB_1}$, $\vec{EC_1}=\vec{EO}+\vec{OC_1}$, $\vec{ED_1}=\vec{EO}+\vec{OD_1}$.

Vì $O$ là trung điểm của $A_1C_1$ và $B_1D_1$ nên $\vec{OA_1}+\vec{OC_1}=\vec{0}$, $\vec{OB_1}+\vec{OD_1}=\vec{0}$.

Từ đó suy ra $\vec{EA_1}+\vec{EB_1}+\vec{EC_1}+\vec{ED_1}=4\vec{EO}$.

Do đó, $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}+\vec{F_4}=4\vec{EO}$.

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}+\vec{F_4}=\vec{P}$, ở đó $\vec{P}$ là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là

Vì trọng lượng của khung sắt là $3\,000\,\text{N}$ nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là