Bài 8 trang 44 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Xét phản ứng hóa học tạo ra chất C từ hai chất A và B: A + B → C

Giả sử nồng độ của hai chất A và B bằng nhau [A] = [B] = a (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất C theo giời gian t (t > 0) được cho bởi công thức: 

trong đó, K là hằng số dương (Nguồn: Đỗ Đức Thái (Chủ biên) và các đồng tác giả, Giáo trình Phép tính vi tích phân hàm một biến, NXB Đại học Sư phạm 2023).

a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm t > 0

b) Chứng minh nếu x = [C] thì x'(t) = K(a - x)².

c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi t → +∞

d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi t → +∞

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Tốc độ phản ứng $\mathbf{x'(t)}$: Tốc độ phản ứng chính là đạo hàm của hàm nồng độ $\mathbf{[C](t)}$ theo thời gian $t$.

   $$\mathbf{x'(t) = \frac{d[C](t)}{dt}}$$

2. Chứng minh $\mathbf{x'(t) = K(a - x)^2}$:

   • Tính $\mathbf{x'(t)}$ bằng công thức đạo hàm hàm phân thức.

   • Tính $\mathbf{K(a - x)^2}$ bằng cách thay $\mathbf{x = [C](t)}$ vào và rút gọn.

   • So sánh hai kết quả.

3. Hiện tượng khi $\mathbf{t \to +\infty}$: Tính giới hạn $\mathbf{\lim_{t \to +\infty} [C](t)}$ và $\mathbf{\lim_{t \to +\infty} x'(t)}$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

               A       +       B        →      C

Ban đầu: a        +       a                  0

Sau thời gian t:

Tốc độ ở thời điểm t > 0 là:

b) Ta có x = [C], tức là: 

Từ đó suy ra x'(t) = K(a – x)².

c)

Vậy khi t → + ∞ thì nồng độ các chất A, B và C bằng nhau.

d)

Vậy khi t → + ∞, tốc độ phản ứng dần về 0, khi đó phản ứng kết thúc.