Cách chứng minh chia hết và Bài tập vận dụng - Toán 6 chuyên đề

Bài viết này HayHocHoi sẽ tổng hợp lý thuyết và hướng dẫn giải chi tiết các dạng bài tập điển hình.

I. Các phương pháp chứng minh chia hết

Để chứng minh một biểu thức $A$ chia hết cho số nguyên $a$ (ký hiệu $A \vdots a$), ta có ba phương pháp chính:

• Nếu A có dạng tích m.n.p thì cần chỉ ra m (hoặc n, hoặc p) chia hết cho a. Hoặc 

 m chia hết cho a₁;

 n chia hết cho a₂;

 p chia hết cho a₃

Với a = a₁.a₂.a₃

• Nếu A có dạng tổng m + n + p thì cần chỉ ra m, n, p cùng chia hết cho a, hoặc tổng các số dư khi chia m, n, p cho a phải chia hết cho a.

• Nếu A có dạng hiệu m - n thì cần chỉ ra m, n chia hết cho a có cùng số dư.

II. Bài tập chứng minh chia hết (có lời giải chi tiết)

* Bài tập 1: Chứng minh rằng S = 5 + 5² + 5³ +...+ 5⁹ + 5¹⁰ chia hết cho 6.

* Lời giải:

- Nhóm tổng S thành tổng các bội số của (6) như sau:

S = (5 + 5²) + (5³ + 5⁴) + ... + (5⁹ + 5¹⁰)

 = 5(1 + 5) + 5³(1 + 5) + ... + 5⁹(1 + 5)

 = 6.5 + 6.5³ + ... + 6.5⁹

Mỗi số hạng của tổng S đều chia hết cho 6 nên S chia hết cho 6.

* Bài tập 2: Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 6a + 11b chia hết cho 31 thì a + 7b cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại có đúng không?

* Lời giải:

- Mục tiêu là ta cần phân tích (6a + 11b) về dạng (a + 7b) nên ta phân tích:

 6a + 11b = 6a + 42b - 31b = 6(a + 7b) - 31b (*)

Vì  mà bài ta: 6a + 11b nên suy ra $6(a + 7b)\vdots 31$

mà 6 và 31 là hai số nguyên tố cùng nhau (tức ước chung lớn nhất của 6 và 31 là 1)

nên suy ra: $(a+7b)\vdots 31$

Ngược lại: Nếu $(a+7b)\vdots 31$ lại có $31b\vdots 31$

Từ (*) suy ra: $(6a + 11b)\vdots 31$

Vậy điều ngược lại cũng đúng.

* Bài tập 3: Tìm số nguyên x sao cho:

a) 3x + 4 chia hết cho x - 3

b) x + 1 là ước số của x² + 7

* Lời giải:

a) 3x + 4 chia hết cho x - 3

Mục đích ta cần phân tích 3x + 4 về dạng xuất hiện x - 3 nên có:

 3x + 4 = 3x - 9 + 13 = 3(x - 3) + 13

 Ta thấy: $ 3(x - 3)\vdots (x-3)$ nên $(3x + 4) \vdots (x - 3)$ khi và chỉ khi $13\vdots (x-3)$

Suy ra: x - 3 ∈ Ư(13) = {-13; -1; 1; 13} nên ta có các trường hợp sau

• x - 3 = -13 ⇒ x = -10

• x - 3 = -1 ⇒ x = 2

• x - 3 = 1 ⇒ x = 4

• x - 3 = 13 ⇒ x = 16

Vậy x ∈ {-10; 2; 4; 16}

b) x + 1 là ước số của x² + 7

Ta có: x² + 7 = x² + x - x - 1 + 8 = x(x + 1) - (x + 1) + 8

Vì $x(x + 1)\vdots (x+1)$ và $ (x + 1)\vdots (x+1)$

nên $(x^2 + 7)\vdots (x+1)$ suy ra $8\vdots (x+1)$

Suy ra x + 1 ∈ Ư(8) = {-8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8} nên ta có các trường hợp sau:

• x + 1 = -8 ⇒ x = -9

• x + 1 = -4 ⇒ x = -5

• x + 1 = -2 ⇒ x = -3

• x + 1 = -1 ⇒ x = -2

• x + 1 = 1 ⇒ x = 0

• x + 1 = 2 ⇒ x = 1

• x + 1 = 4 ⇒ x = 3

• x + 1 = 8 ⇒ x = 7

Vậy x ∈ {-9; -5; -3; -2; 0; 1; 3; 7}

* Bài tập 4: Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng:

5a + 2b chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9a + 7b chia hết cho 17.

* Lời giải:

- Xét hiệu: 5.(9a + 7b) - 9.(5a + 2b)

 = 45a + 35b - 45a - 18b = 17b

Ta thấy: 17b  17 nên:

+ Nếu (9a + 7b)  17 thì 9.(5a + 2b)  17

mà 9 và 17 là hai số nguyên tố cùng nhau nên (5a + 2b)  17

+ Nếu (5a + 2b)  17 thì 5.(9a + 7b)  17

mà 5 và 17 là hai số nguyên tố cùng nhau nên (9a + 7b)  17

* Bài tập 5: Chứng minh rằng S chia hết cho (39) biết:

 S = 3 + 3² + 3³ + ... + 3⁹.

* Bài tập 6: Cho số a = 11...111 gồm 21 chữ số 1.

Chứng minh rằng a chia hết cho 111.

* Bài tập 7: Tìm số nguyên y sao cho:

a) 2y - 5 chia hết cho y - 1

b) y + 2 là ước số của y² + 8

* Bài tập 8: Tìm cặp số nguyên x sao cho:

a) (x + 1).(y - 1) = 7;

b) -y(x + 2) = 8;