Cách chứng minh chia hết và Bài tập vận dụng (nhanh, chuẩn nhất)

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ lý thuyết cốt lõi, cẩm nang phối hợp các phương pháp chứng minh chia hết kèm theo hướng dẫn giải chi tiết cho các bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao.

I. Các Phương Pháp Chứng Minh Chia Hết Cốt Lõi

Để chứng minh một biểu thức $A$ chia hết cho một số tự nhiên $a$ (ký hiệu là $A \vdots a$), chúng ta thường sử dụng 3 phương pháp tiếp cận chiến lược sau:

1. Phương pháp phân tích thành một tích (Dạng tích)

Nếu biểu thức $A$ có thể biểu diễn hoặc thu gọn về dạng tích của nhiều thừa số:

• Cách 1: Ta chỉ cần tìm cách chứng minh một trong các thừa số (hoặc $m$, hoặc $n$, hoặc $p$) chia hết cho số $a$.

• Cách 2: Trong trường hợp số $a$ có thể phân tích thành tích của các số nguyên tố cùng nhau, ví dụ $a = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3$, ta chứng minh từng thừa số tương ứng chia hết cho các thành phần đó: $m \vdots a_1$, \ $n \vdots a_2$, và $p \vdots a_3$.

2. Phương pháp nhóm số hạng (Dạng tổng)

Nếu biểu thức $A$ có dạng một chuỗi tổng:

• Cách 1: Ta chỉ ra tất cả các số hạng thành phần $m, n, p$ đều đồng thời chia hết cho số $a$.

• Cách 2: Nếu các số hạng không chia hết cho $a$, ta thực hiện tìm số dư của từng số hạng khi chia cho $a$. Nếu tổng các số dư đó chia hết cho $a$ thì tổng tổng thể $A$ cũng chia hết cho $a$.

3. Phương pháp sử dụng số dư đồng nhất (Dạng hiệu)

Nếu biểu thức $A$ có dạng một hiệu số:

• Để chứng minh $A \vdots a$, ta chỉ cần chỉ ra hai số bị trừ $m$ và số trừ $n$ khi thực hiện phép tính chia cho hằng số $a$ đều cho ra cùng một số dư như nhau.

II. Hệ Thống Bài Tập Vận Dụng

Các em hãy chép lại hệ thống đề bài chuyên đề dưới đây vào vở nháp và vận dụng linh hoạt các phương pháp đặt nhân tử chung, tách số để tự tìm lời giải trước khi đối chiếu đáp án nhé:

• Bài tập 1: Chứng minh rằng chuỗi tổng lũy thừa $S = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^9 + 5^{10}$ luôn chia hết cho 6.

• Bài tập 2: Cho $a$ và $b$ là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu biểu thức $(6a + 11b)$ chia hết cho 31 thì biểu thức $(a + 7b)$ cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại có đúng hay không?

• Bài tập 3: Tìm số nguyên $x$ sao cho thỏa mãn điều kiện:

  • a) $(3x + 4)$ chia hết cho $(x - 3)$

  • b) Đa thức $(x + 1)$ là ước số của biểu thức $(x^2 + 7)$

• Bài tập 4: Cho $a$ và $b$ là các số nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng: Biểu thức $(5a + 2b)$ chia hết cho 17 khi và chỉ khi biểu thức $(9a + 7b)$ chia hết cho 17.

• Bài tập 5: Chứng minh rằng chuỗi tổng lũy thừa $S$ dưới đây luôn chia hết cho 39:

  $$S = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^9$$

• Bài tập 6: Cho một số tự nhiên gồm toàn các chữ số 1 đứng cạnh nhau: $a = 111\dots111$ (gồm tổng cộng 21 chữ số 1). Chứng minh rằng số $a$ chia hết cho 111.

• Bài tập 7: Tìm số nguyên $y$ sao cho thỏa mãn điều kiện:

  • a) $(2y - 5)$ chia hết cho $(y - 1)$

  • b) Biểu thức $(y + 2)$ đóng vai trò là ước số của đa thức $(y^2 + 8)$

• Bài tập 8: Tìm các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn hệ thức tích:

  • a) $(x + 1) \cdot (y - 1) = 7$

  • b) $-y \cdot (x + 2) = 8$

III. Hướng Dẫn Giải Chi Tiết Và Đáp Án Tham Khảo

Hướng dẫn giải Bài tập 1

Nhận thấy chuỗi tổng lũy thừa $S$ có tất cả 10 số hạng. Vì đề bài yêu cầu chứng minh chia hết cho 6, ta thực hiện nhóm hai số hạng liên tiếp liền kề lại với nhau thành một cặp (tổng cộng lập được 5 nhóm):

$S = (5 + 5^2) + (5^3 + 5^4) + \dots + (5^9 + 5^{10})$

Thực hiện đặt thừa số chung cho từng cụm ngoặc đơn:

$S = 5 \cdot (1 + 5) + 5^3 \cdot (1 + 5) + \dots + 5^9 \cdot (1 + 5)$

$S = 5 \cdot 6 + 5^3 \cdot 6 + \dots + 5^9 \cdot 6$

Đặt hằng số 6 ra ngoài làm nhân tử chung tổng thể cho biểu thức:

$S = 6 \cdot (5 + 5^3 + \dots + 5^9)$

Vì tích thu được có chứa thừa số 6 chia hết cho 6, nên theo tính chất chia hết của một tích, chuỗi tổng $S$ luôn chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải Bài tập 2

Để tìm mối liên hệ giữa hai biểu thức, ta thực hiện mẹo tách hằng số để làm xuất hiện cấu trúc nhân tử chung:

$6a + 11b = 6a + 42b - 31b$

$6a + 11b = 6 \cdot (a + 7b) - 31b$

Đặt tên cho hệ thức biến đổi này là hệ thức $(*)$.

• Chiều xuôi: Giả sử đề bài cho biết tổng $(6a + 11b)$ chia hết cho 31.

  Xét hệ thức $(*)$, do số hạng vế sau là $31b$ luôn luôn chia hết cho 31, kết hợp với giả thiết vế trước chia hết cho 31, ta suy ra cụm tích còn lại bắt buộc phải chia hết cho 31:

  $6 \cdot (a + 7b)$ chia hết cho 31.

  Vì số 6 và số 31 là hai số nguyên tố cùng nhau (ƯCLN bằng 1), nên theo tính chất số học, ta suy ra đa thức trong ngoặc phải chia hết cho 31:

  $(a + 7b)$ chia hết cho 31 (Điều phải chứng minh).

• Chiều ngược lại: Giả sử đề bài cho biết đa thức $(a + 7b)$ chia hết cho 31.

  Ta suy ra tích $6 \cdot (a + 7b)$ cũng chia hết cho 31.

  Mặt khác, số hạng $31b$ luôn luôn chia hết cho 31.

  Áp dụng tính chất hiệu của hai số hạng chia hết, từ hệ thức $(*)$ ta suy ra biểu thức vế trái $(6a + 11b)$ bắt buộc phải chia hết cho 31.

  Kết luận: Điều ngược lại hoàn toàn đúng.

Hướng dẫn giải Bài tập 3

• Câu a: Tìm số nguyên $x$ biết $(3x + 4) \vdots (x - 3)$ Ta thực hiện phép tính tách đa thức bị chia theo đa thức chia như sau:

  $3x + 4 = 3x - 9 + 13 = 3 \cdot (x - 3) + 13$

  Để biểu thức chia hết cho $(x - 3)$, do cụm tích đầu $3 \cdot (x - 3)$ đã chia hết cho $(x - 3)$, nên số hạng còn lại là hằng số 13 bắt buộc phải chia hết cho $(x - 3)$. Điều này tương đương với việc $(x - 3)$ phải đóng vai trò là ước nguyên của số 13.

  Ta có tập hợp ước: $Ư(13) = \{1; -1; 13; -3\}$. Tiến hành lập bảng giá trị:

  • Nếu $x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4$

  • Nếu $x - 3 = -1 \Rightarrow x = 2$

  • Nếu $x - 3 = 13 \Rightarrow x = 16$

  • Nếu $x - 3 = -13 \Rightarrow x = -10$

    Kết luận câu a: Tập hợp các số nguyên cần tìm là $x \in \{-10; 2; 4; 16\}$.

• Bâu b: Tìm số nguyên $x$ biết $(x + 1)$ là ước của $(x^2 + 7)$ Theo định nghĩa, bài toán quy về phép chia hết: $(x^2 + 7) \vdots (x + 1)$.

  Ta thực hiện mẹo thêm bớt hạng tử để làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung:

  $x^2 + 7 = x^2 + x - x - 1 + 8$

  $= x \cdot (x + 1) - (x + 1) + 8$

  $= (x - 1) \cdot (x + 1) + 8$

  Để biểu thức chia hết cho $(x + 1)$, số hạng hằng số còn lại là số 8 bắt buộc phải chia hết cho $(x + 1)$. Nghĩa là $(x + 1) \in Ư(8) = \{1; -1; 2; -2; 4; -4; 8; -8\}$.

  Thực hiện trừ bớt đi 1 đơn vị ở mỗi phần tử ước, ta tìm được tập hợp ẩn số:

  Kết luận câu b: Tập hợp số nguyên cần tìm là $x \in \{-9; -5; -3; -2; 0; 1; 3; 7\}$.

Hướng dẫn giải Bài tập 4

Để chứng minh quan hệ tương đương "khi và chỉ khi", ta thực hiện xét một biểu thức hiệu kết hợp tuyến tính giữa hai đa thức như sau:

$5 \cdot (9a + 7b) - 9 \cdot (5a + 2b)$

Thực hiện nhân phá ngoặc để thu gọn biến số $a$:

$= 45a + 35b - 45a - 18b$

$= 17b$

Nhận thấy kết quả thu gọn là biểu thức $17b$ luôn luôn hiển nhiên chia hết cho 17 với mọi số nguyên $b$.

• Chiều thuận: Nếu giả sử đề bài cho biết đa thức $(9a + 7b)$ chia hết cho 17 $\rightarrow$ Tích $5 \cdot (9a + 7b)$ chia hết cho 17. Do hiệu của chúng bằng $17b$ chia hết cho 17, ta suy ra cụm tích còn lại $9 \cdot (5a + 2b)$ bắt buộc phải chia hết cho 17. Vì số 9 và số 17 nguyên tố cùng nhau nên ta thu được đa thức $(5a + 2b)$ chia hết cho 17.

• Chiều nghịch: Tương tự, nếu giả sử đa thức $(5a + 2b)$ chia hết cho 17 $\rightarrow$ Tích $9 \cdot (5a + 2b)$ chia hết cho 17. Ta suy ra cụm tích vế trước $5 \cdot (9a + 7b)$ chia hết cho 17. Vì số 5 và số 17 nguyên tố cùng nhau nên ta thu được đa thức $(9a + 7b)$ chia hết cho 17.

  Hệ thức tương đương được chứng minh luôn đúng.

Hướng dẫn giải Bài tập 5

Nhận thấy số 39 được cấu tạo từ tích của hai số nguyên tố cùng nhau là $3 \cdot 13$.

Chuỗi tổng $S = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^9$ có tổng cộng tất cả 9 số hạng. Vì bài toán yêu cầu chứng minh chia hết cho 39, ta thực hiện phương pháp nhóm ba số hạng liên tiếp liền kề lại với nhau thành một nhóm (tổng cộng lập được 3 nhóm):

$S = (3 + 3^2 + 3^3) + (3^4 + 5^5 + 3^6) + (3^7 + 3^8 + 3^9)$

Thực hiện đặt thừa số chung có số mũ nhỏ nhất ra ngoài ở từng nhóm:

$S = (3 + 9 + 27) + 3^3 \cdot (3 + 3^2 + 3^3) + 3^6 \cdot (3 + 3^2 + 3^3)$

$S = 39 + 3^3 \cdot 39 + 3^6 \cdot 39$

Đặt hằng số 39 ra ngoài làm nhân tử chung tổng thể:

$S = 39 \cdot (1 + 3^3 + 3^6)$

Vì biểu thức tích chứa thừa số 39 nên ta kết luận chuỗi tổng $S$ luôn chia hết cho 39.

Hướng dẫn giải Bài tập 6

Số tự nhiên $a = 111\dots111$ có tổng cộng tất cả 21 chữ số 1. Nhận thấy số lượng các chữ số là 21 chia hết cho 3 ($21 : 3 = 7$). Do đó, ta có thể chủ động phân tách cấu trúc của số $a$ thành các khối nhóm, trong đó mỗi khối chứa đúng 3 chữ số 1 đứng cạnh nhau (chính là số 111):

$a = 111 \cdot 10^{18} + 111 \cdot 10^{15} + \dots + 111 \cdot 10^3 + 111$

Thực hiện đặt số 111 ra ngoài dấu ngoặc làm nhân tử chung cho chuỗi số:

$a = 111 \cdot (10^{18} + 10^{15} + \dots + 10^3 + 1)$

Vì biểu thức số học của $a$ sau khi phân tích chứa trực tiếp thừa số 111, nên ta có quyền khẳng định số $a$ luôn luôn chia hết cho 111.

Hướng dẫn giải Bài tập 7

• Câu a: Tìm số nguyên $y$ biết $(2y - 5) \vdots (y - 1)$ Ta thực hiện biến đổi tách số hạng ở tử số như sau:

  $2y - 5 = 2y - 2 - 3 = 2 \cdot (y - 1) - 3$

  Để biểu thức chia hết cho đa thức mẫu $(y - 1)$, số hạng còn lại là hằng số $-3$ bắt buộc phải chia hết cho $(y - 1)$. Nghĩa là $(y - 1)$ là ước nguyên của số 3.

  Ta có tập hợp ước: $Ư(3) = \{1; -1; 3; -3\}$. Tiến hành cộng thêm 1 đơn vị để tìm ẩn số:

  • $y - 1 = 1 \Rightarrow y = 2$

  • $y - 1 = -1 \Rightarrow y = 0$

  • $y - 1 = 3 \Rightarrow y = 4$

  • $y - 1 = -3 \Rightarrow y = -2$

    Kết luận câu a: Tập hợp giá trị cần tìm là $y \in \{-2; 0; 2; 4\}$.

• Câu b: Tìm số nguyên $y$ biết $(y + 2)$ là ước của $(y^2 + 8)$ Bài toán quy về phép chia hết: $(y^2 + 8) \vdots (y + 2)$.

  Ta thực hiện mẹo hằng đẳng thức trừ bình phương để khử bậc hai:

  $y^2 + 8 = y^2 - 4 + 12 = (y - 2) \cdot (y + 2) + 12$

  Để biểu thức chia hết cho $(y + 2)$, hằng số còn lại là số 12 bắt buộc phải chia hết cho $(y + 2)$. Nghĩa là $(y + 2) \in Ư(12) = \{1; -1; 2; -2; 3; -3; 4; -4; 6; -6; 12; -12\}$.

  Thực hiện trừ bớt đi 2 đơn vị ở từng phần tử ước, ta tìm được tập hợp ẩn:

  Kết luận câu b: $y \in \{-14; -8; -6; -5; -4; -3; -1; 0; 1; 2; 4; 10\}$.

Hướng dẫn giải Bài tập 8

• Câu a: Tìm cặp số nguyên $(x, y)$ biết $(x + 1) \cdot (y - 1) = 7$ Từ cấu trúc của hệ thức tích số nguyên, hai đa thức toán học phải đóng vai trò là các cặp ước số nguyên phối hợp nhân nhau ra kết quả bằng 7.

  Tập hợp ước của số nguyên tố 7 bao gồm bốn phần tử: $\{1; -1; 7; -7\}$. Ta thực hiện chia làm bốn trường hợp nhỏ để giải hệ phương trình:

  Trường hợp 1: $x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$ và $y - 1 = 7 \Rightarrow y = 8$. Ta được cặp số $(0; 8)$.

  Trường hợp 2: $x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2$ và $y - 1 = -7 \Rightarrow y = -6$. Ta được cặp số $(-2; -6)$.

  Trường hợp 3: $x + 1 = 7 \Rightarrow x = 6$ và $y - 1 = 1 \Rightarrow y = 2$. Ta được cặp số (6; 2).

  Trường hợp 4: $x + 1 = -7 \Rightarrow x = -8$ và $y - 1 = -1 \Rightarrow y = 0$. Ta được cặp số $(-8; 0)$.

  Kết luận câu a: Các cặp số nguyên cần tìm là: $(0; 8), \ (-2; -6), \ (6; 2), \ (-8; 0)$.

• Câu b: Tìm cặp số nguyên $(x, y)$ biết $-y \cdot (x + 2) = 8$ Ta thực hiện nhân đổi dấu trừ sang vế phải để biểu thức tích trở nên thuận mắt:

  $y \cdot (x + 2) = -8$

  Lập luận tương tự, hai thừa số $y$ và $(x + 2)$ phải đóng vai trò là các ước nguyên phối hợp của số $-8$.

  Tập hợp ước của $-8$ bao gồm các phần tử: $\{1; -1; 2; -2; 4; -4; 8; -8\}$. Tiến hành lập bảng tính nhanh phối hợp các cặp số nhân nhau ra $-8$:

  • Nếu $y = 1 \Rightarrow x + 2 = -8 \Rightarrow x = -10$. Ta được cặp $(-10; 1)$.

  • Nếu $y = -1 \Rightarrow x + 2 = 8 \Rightarrow x = 6$. Ta được cặp $(6; -1)$.

  • Nếu $y = 2 \Rightarrow x + 2 = -4 \Rightarrow x = -6$. Ta được cặp $(-6; 2)$.

  • Nếu $y = -2 \Rightarrow x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2$. Ta được cặp $(2; -2)$.

  • Nếu $y = 4 \Rightarrow x + 2 = -2 \Rightarrow x = -4$. Ta được cặp $(-4; 4)$.

  • Nếu $y = -4 \Rightarrow x + 2 = 2 \Rightarrow x = 0$. Ta được cặp $(0; -4)$.

  • Nếu $y = 8 \Rightarrow x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3$. Ta được cặp $(-3; 8)$.

  • Nếu $y = -8 \Rightarrow x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$. Ta được cặp $(-1; -8)$.

    Kết luận câu b: Tập hợp các cặp số nguyên $(x, y)$ tìm được là các cặp tọa độ số ở trên.

IV. Kết Luận Và Bí Quyết Làm Bài

Phương pháp chứng minh chia hết luôn là một công cụ đại số mạnh mẽ và đầy thú vị trong số học. Ba kỹ thuật cốt lõi mà các em cần luôn ghi nhớ là phân tích thành một tích, nhóm các số hạng thành tổng tròn và sử dụng hiệu/tách đa thức. Đặc biệt, đối với các bài toán tìm ẩn số $x$ và $y$ nâng cao, chìa khóa vạn năng là thực hiện kỹ thuật thêm bớt hạng tử để làm xuất hiện biểu thức chia, từ đó quy bài toán phức tạp về dạng tìm ước của một hằng số cố định.