Bài 7 trang 25 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 25 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Công thức $h=-19,4.log\frac{P}{P_0}$ là mô hình đơn giản cho phép tính độ cao h so với mặt nước biển của một vị trí trong không trung (tính bằng kilômét) theo áp suất không khí P tại điểm đó và áp suất P₀ của không khí tại mặt nước biển (cùng tính bằng Pa - đơn vị áp suất, đọc là Pascal)

a) Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng $\frac{1}{2}P_0$ thì máy bay đang ở độ cao nào?

b) Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi A bằng 4/5 lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi B. Ngọn núi nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười) 

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

1. Phần a (Độ cao máy bay): Thay $P = \frac{1}{2} P_0$ vào công thức và sử dụng quy tắc $\log \left(\frac{1}{2}\right) = -\log 2$.

2. Phần b (So sánh độ cao):

   • Độ cao $h$ tỉ lệ nghịch với $\log P$. $P_A < P_B$ $\Rightarrow$ $h_A > h_B$ (Ngọn núi $A$ cao hơn).

   • Tính hiệu độ cao $h_A - h_B$ bằng cách sử dụng quy tắc $\mathbf{\log a - \log b = \log \left(\frac{a}{b}\right)}$ để làm xuất hiện tỉ số $\frac{P_A}{P_B}$.

Giải bài 7 trang 25 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

a) Độ cao của máy bay khi áp suất không khí ngoài máy bay bằng là:

$h=-19,4.log\frac{P}{P_0}$ $=-19,4.log\frac{\frac{1}{2}P_0}{P_0}$ $=-19,4log\frac{1}{2}\approx 5,84(km)$

b) Độ cao của ngọn núi A là:  $h_A=-19,4.log\frac{P_A}{P_0}$

Độ cao của ngọn núi B là: $h_B=-19,4.log\frac{P_B}{P_0}$

Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi A bằng 4/5 lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi B nên ta có: 

$P_A=\frac{4}{5}P_B\Leftrightarrow \frac{P_A}{P_B}=\frac{4}{5}$

Ta có:

 $h_A-h_B=\left ( -19,4log\frac{P_A}{P_0} \right )-\left ( -19,4log\frac{P_B}{P_0} \right )$

$= -19,4log\frac{P_A}{P_0} +19,4log\frac{P_B}{P_0}$ $=-19,4log\left ( \frac{P_A}{P_0}:\frac{P_B}{P_0} \right )$

$=-19,4log\frac{P_A}{P_B}$ $=-19,4log\frac{4}{5}\approx 1,88(km)$

Vậy ngọn núi A cao hơn ngọn núi B 1,88 km.