Bài 10 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 10 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC và SD. Tính khoảng cách giữa AM và NP.

Phân Tích Hướng Dẫn Giải:

1. Mối quan hệ song song: $NP$ là đường trung bình của $\triangle SCD \Rightarrow NP || CD$. $AM$ nằm trong $(SAB)$.

2. Tính chất vuông góc: Tìm một mặt phẳng chứa $AM$ mà $NP$ vuông góc với nó, hoặc ngược lại.

   • Xét $MN$ (đường trung bình $\triangle SBC$) $\Rightarrow MN || BC$.

   • Ta có $BC \perp AB$ (đáy là hình vuông) và $BC \perp SA$ (vì $SA \perp (ABCD)$).

   • $\Rightarrow BC \perp (SAB)$.

   • Vì $MN || BC$, ta có $MN \perp (SAB)$.

3. Xác định khoảng cách:

   • $AM$ nằm trong $(SAB)$.

   • $MN$ vuông góc với $(SAB)$ tại $M$.

   • $MN$ cắt $NP$ tại $N$.

   • Nếu $MN$ cũng vuông góc với $NP$, thì $MN$ chính là đoạn vuông góc chung, và $d(AM, NP) = MN$.

Giải bài 10 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Hình minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC

Mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (SAB)

Tam giác SBC có:

M là trung điểm SB

N là trung điểm SC

Do đó MN là đường trung bình nên MN // BC, $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}=\frac{\mathrm{a/}}{2}$ .

Mà BC ⊥ (SAB) ⇒ MN ⊥ (SAB) ⇒ MN ⊥ AM.

Tam giác SCD cóN là trung điểm SC; P là trung điểm SD

Suy ra P là đường trung bình nên NP // CD.

Mà MN // BC, BC ⊥ CD nên MN ⊥ NP.

Vậy: $d(\mathrm{AM},\mathrm{NP})=\mathrm{MN}=\frac{\mathrm{a/}}{2}$