Cách viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng (Ox, Oy, Oz)

Vậy công thức cụ thể là gì? Cách tính khoảng cách từ tâm đến các trục tọa độ Ox, Oy ra sao? Bài viết dưới đây của Hay học hỏi sẽ giúp các em nắm vững phương pháp và bài tập vận dụng.

I. Phương pháp viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng

Để viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a; b; c)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d$, các em thực hiện theo các bước sau:

1. Điều kiện tiếp xúc

Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $d$ bằng bán kính $R$ của mặt cầu.

2. Công thức tính bán kính R

Gọi $M$ là một điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng $d$ và $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của $d$. Khi đó, bán kính $R$ được tính theo công thức:

3. Lập phương trình mặt cầu

Sau khi tìm được $R$, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a; b; c)$ là:

II. Bài tập vận dụng chi tiết

Bài tập 1: Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; -2; 3)$ và tiếp xúc với trục $Oy$

Lời giải:

• Trục $Oy$ có phương trình tham số là: $\begin{cases} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \end{cases}$

• Vectơ chỉ phương của $Oy$ là $\vec{u} = (0; 1; 0)$.

• Chọn điểm $M(0; 0; 0)$ thuộc $Oy$ (gốc tọa độ), ta có: $\overrightarrow{IM} = (-1; 2; -3)$.

• Tính tích có hướng:

  $$[\overrightarrow{IM}, \vec{u}] = \left( \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \right) = (3; 0; -1)$$

• Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ $I$ đến trục $Oy$:

  $$R = d[I, (Oy)] = \frac{|[\overrightarrow{IM}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|} = \frac{\sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2}}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \sqrt{10}$$

• Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

  $$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 10$$

Mẹo giải nhanh: Khoảng cách từ $I(a; b; c)$ đến trục $Oy$ là $R = \sqrt{a^2 + z^2}$. Ở bài này: $R = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$. Tương tự, đến $Ox$ là $\sqrt{b^2 + c^2}$ và đến $Oz$ là $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm $I(-1; 2; 0)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: \frac{x+1}{-1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{-3}$

Lời giải:

• Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(-1; 1; 0)$ và có VTCP $\vec{u}_{\Delta} = (-1; 1; -3)$.

• Ta có: $\overrightarrow{IA} = (0; -1; 0)$.

• Tính tích có hướng:

  $$[\overrightarrow{IA}, \vec{u}_{\Delta}] = (3; 0; -1)$$

• Do mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với $\Delta$ nên bán kính $R = d[I, \Delta]$:

  $$R = \frac{|[\overrightarrow{IA}, \vec{u}_{\Delta}]|}{|\vec{u}_{\Delta}|} = \frac{\sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2}}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-3)^2}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}$$

• Vậy phương trình mặt cầu là:

  $$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = \frac{10}{11}$$

III. Lưu ý khi làm bài

• Xác định VTCP: Cần đưa đường thẳng về đúng dạng chính tắc hoặc tham số để lấy vectơ chỉ phương chính xác.

• Tính tích có hướng: Đây là bước dễ sai sót nhất, các em nên bấm máy tính Casio để kiểm tra lại kết quả $[\overrightarrow{IM}, \vec{u}]$.

• Đề bài lừa: Cần phân biệt mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ($R = d[I, (P)]$) và tiếp xúc với đường thẳng ($R = d[I, d]$). Công thức tính khoảng cách của hai dạng này hoàn toàn khác nhau.