Các dạng Toán tìm GTNN, GTLN và 2 sai lầm thường gặp Toán 8

Vậy cụ thể cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức như thế nào? Những sai lầm nào học sinh thường mắc phải khi làm dạng toán này? Hãy cùng Hay Học Hỏi tìm hiểu lý thuyết và phương pháp giải chi tiết qua bài viết dưới đây!

I. Lý Thuyết Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất (GTLN) Và Giá Trị Nhỏ Nhất (GTNN)

1. Định nghĩa Giá trị nhỏ nhất (GTNN)

Cho một biểu thức $A$. Ta nói số $k$ là giá trị nhỏ nhất (ký hiệu là $\min A$) của biểu thức $A$ nếu ta chứng minh được đồng thời 2 điều kiện:

• Điều kiện 1: $A \geq k$ với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định.

• Điều kiện 2: Chỉ ra được ít nhất một giá trị cụ thể của biến để khi thay vào biểu thức, $A$ nhận giá trị bằng $k$ (Dấu "=" xảy ra).

2. Định nghĩa Giá trị lớn nhất (GTLN)

Cho một biểu thức $B$. Ta nói số $h$ là giá trị lớn nhất (ký hiệu là $\max B$) của biểu thức $B$ nếu ta chứng minh được đồng thời 2 điều kiện:

• Điều kiện 1: $B \leq h$ với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định.

• Điều kiện 2: Chỉ ra được ít nhất một giá trị cụ thể của biến để khi thay vào biểu thức, $B$ nhận giá trị bằng $h$ (Dấu "=" xảy ra).

II. Hai Sai Lầm Thường Gặp Khi Tìm GTLN, GTNN

Khi làm bài toán này, học sinh rất dễ bị mất điểm do chủ quan phạm phải hai sai lầm nghiêm trọng sau:

Sai lầm 1: Quên kiểm tra điều kiện xảy ra dấu "="

Nhiều học sinh sau khi chứng minh được $A \geq k$ đã vội vàng kết luận ngay GTNN của $A$ là $k$ mà quên mất việc tìm giá trị của biến để dấu "=" xảy ra.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = (x^2 + 1)^2 - 3$.

• Lời giải sai: Vì $(x^2 + 1)^2 \geq 0$ với mọi $x$ nên $(x^2 + 1)^2 - 3 \geq -3 \Rightarrow A \geq -3$. Kết luận giá trị nhỏ nhất của $A$ bằng $-3$.

• Phân tích lỗi sai: Để $A = -3$ thì bắt buộc $(x^2 + 1)^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow x^2 = -1$ (vô lý). Thực tế, vì $x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + 1 \geq 1 \Rightarrow (x^2 + 1)^2 \geq 1$. Do đó $A \geq 1 - 3 = -2$. GTNN chính xác của $A$ phải là $-2$ khi $x = 0$.

Sai lầm 2: Không đối chiếu điều kiện ràng buộc của biến

Bài toán có thể cho thêm điều kiện của biến (ví dụ: $x$ là số nguyên, số không âm, $x > 1$,...) nhưng học sinh lại tìm ra giá trị biến vi phạm điều kiện này.

Ví dụ 2: Với $x$ là số nguyên không âm ($x \geq 0$), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = (x + 2)^2 - 5$.

• Lời giải sai: Vì $(x + 2)^2 \geq 0 \Rightarrow A \geq -5$. Dấu "=" xảy ra khi $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -2$. Kết luận GTNN của $A$ là $-5$ khi $x = -2$.

• Phân tích lỗi sai: Đề bài yêu cầu $x$ là số nguyên không âm, nhưng giá trị tìm được lại là $x = -2$ (số âm). Do đó, dấu "=" không thể xảy ra tại $x = -2$. Lời giải này hoàn toàn sai.

III. Các Dạng Bài Tập Tìm GTLN, GTNN Thường Gặp

Dạng 1: Biểu thức là tam thức bậc hai

Phương pháp giải: Ta sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu cộng (trừ) với một hằng số tự do.

• Dạng $A = (m \cdot x \pm n)^2 + c \geq c \Rightarrow \min A = c$ khi $m \cdot x \pm n = 0$.

• Dạng $B = c - (m \cdot x \pm n)^2 \leq c \Rightarrow \max B = c$ khi $m \cdot x \pm n = 0$.

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = (x - 3)^2 + 5$

Lời giải: Vì $(x - 3)^2 \geq 0$ với mọi $x$

$\Rightarrow (x - 3)^2 + 5 \geq 5$ với mọi $x$

$\Rightarrow A \geq 5$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $5$ đạt được khi $x = 3$.

Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = 2x^2 - 8x + 3$

Lời giải: Ta tách và nhóm hạng tử để tạo hằng đẳng thức:

$A = 2x^2 - 8x + 8 - 5$

$A = 2(x^2 - 4x + 4) - 5$

$A = 2(x - 2)^2 - 5$

Vì $(x - 2)^2 \geq 0 \Rightarrow 2(x - 2)^2 \geq 0$ với mọi $x$.

$\Rightarrow 2(x - 2)^2 - 5 \geq -5$ với mọi $x$.

Dấu "=" xảy ra khi: $(x - 2)^2 = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Vậy GTNN của $A$ là $-5$ đạt được khi $x = 2$.

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = 2x^2 - 6x$

Lời giải: Ta biến đổi biểu thức như sau:

$A = 2\left(x^2 - 3x\right) = 2\left[x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right]$

$A = 2\left[\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right] = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2}$

Vì $\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 \geq 0 \Rightarrow 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 \geq 0$ với mọi $x$.

$\Rightarrow 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} \geq -\frac{9}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi: $x - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$.

Trình bày dưới dạng phân số tối giản, vậy GTNN của $A$ bằng $-\frac{9}{2}$ đạt được khi $x = \frac{3}{2}$.

Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: $B = 2 + 4x - x^2$

Lời giải: Ta đổi thứ tự và nhóm hằng đẳng thức:

$B = 6 - 4 + 4x - x^2 = 6 - \left(4 - 4x + x^2\right)$

$B = 6 - (2 - x)^2$

Vì $(2 - x)^2 \geq 0$ với mọi $x \Rightarrow -(2 - x)^2 \leq 0$ với mọi $x$.

$\Rightarrow 6 - (2 - x)^2 \leq 6$ với mọi $x$.

Dấu "=" xảy ra khi: $(2 - x)^2 = 0 \Leftrightarrow 2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Vậy GTLN của biểu thức $B$ bằng $6$ đạt được khi $x = 2$.

Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: $C = 2x - x^2$

Lời giải: Ta biến đổi biểu thức:

$C = -x^2 + 2x - 1 + 1 = 1 - \left(x^2 - 2x + 1\right)$

$C = 1 - (x - 1)^2$

Vì $(x - 1)^2 \geq 0 \Rightarrow -(x - 1)^2 \leq 0$ với mọi $x$.

$\Rightarrow 1 - (x - 1)^2 \leq 1$ với mọi $x$.

Dấu "=" xảy ra khi: $(x - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Vậy GTLN của biểu thức $C$ bằng $1$ đạt được khi $x = 1$.

Dạng 2: Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải: Đối với dạng toán này, học sinh áp dụng hai bất đẳng thức cơ bản về dấu giá trị tuyệt đối sau:

• Tính chất 1: $|f(x)| \geq 0$. Dấu "=" xảy ra khi $f(x) = 0$.

• Tính chất 2: Bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối:

  $|x| + |y| \geq |x + y|$. Dấu "=" xảy ra khi $x \cdot y \geq 0$.

Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = (2x - 1)^2 - 6|2x - 1| + 10$

Lời giải: Đặt ẩn phụ: Đặt $y = |2x - 1|$ (Điều kiện $y \geq 0$). Khi đó $y^2 = (2x - 1)^2$.

Biểu thức $A$ trở thành tam thức bậc hai theo ẩn $y$:

$A = y^2 - 6y + 10 = \left(y^2 - 6y + 9\right) + 1$

$A = (y - 3)^2 + 1$

Vì $(y - 3)^2 \geq 0 \Rightarrow (y - 3)^2 + 1 \geq 1$ với mọi $y$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $y - 3 = 0 \Leftrightarrow y = 3$ (Thỏa mãn điều kiện $y \geq 0$).

Trở lại biến $x$, ta có: $|2x - 1| = 3$

Trường hợp 1: $2x - 1 = 3 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$

Trường hợp 2: $2x - 1 = -3 \Leftrightarrow 2x = -2 \Leftrightarrow x = -1$

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1$ khi $x = 2$ hoặc $x = -1$.

Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $B = |x - 1| + |x - 3|$

Lời giải: Áp dụng tính chất $|a| = |-a|$, ta biến đổi:

$B = |x - 1| + |3 - x|$

Áp dụng bất đẳng thức $|a| + |b| \geq |a + b|$, ta được:

$B \geq |(x - 1) + (3 - x)| \Leftrightarrow B \geq |2| \Leftrightarrow B \geq 2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $(x - 1)(3 - x) \geq 0$

Trường hợp 1:

$\begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ 3 - x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 1 \\ x \leq 3 \end{cases} \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 3$

Trường hợp 2:

$\begin{cases} x - 1 \leq 0 \\ 3 - x \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \leq 1 \\ x \geq 3 \end{cases}$ (Vô lý, không có giá trị nào thỏa mãn).

Vậy GTNN của $B$ bằng $2$ khi và chỉ khi $1 \leq x \leq 3$.

IV. Bài Tập Tự Luyện Nâng Cao

Để khắc sâu kiến thức lý thuyết đã học, các em hãy tự luyện tập giải các bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất dưới đây nhé:

Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) $A = x^2 - 8x + 19$

b) $B = x^2 - 10x + 27$

c) $C = x^2 - 2x + y^2 + 4y + 8$

Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) $A = 10x - 2x^2$

b) $B = 5 - 6x - x^2$

c) $C = -x^2 + 8x + 6$

Bài tập 10: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức (nếu có):

a) $A = |x - 2020| + |x - 2021|$

b) $B = |x - 3| + |x - 4| + 2019$