Cách sử dụng lược đồ Hoocne (Horner) để chia đa thức bậc cao - Toán 8 nâng cao

Vậy cách sử dụng lược đồ Hoocne (Horner) để chia đa thức như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây và vận dụng vào một số bài tập cụ thể để hiểu phương pháp này.

I. Cách sử dụng lược đồ Hoocne

Giả sử cho đa thức ban đầu:

 f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n-1x¹ + a_n

Khi đó, đa thức thương và đa thức dư (nếu có) được xác định theo lược đồ sau:

Sử dụng lược đồ Hoocne (hay sơ đồ Hoocne) để thực hiện phép chia đa thức f(x) cho đa thức (x - α), ta thực hiện các bước như sau:

+ Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức f(x) theo thứ tự số mũ của ẩn x giảm dần và đặt số α vào cột đầu tiên của hàng thứ 2. Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào đó thì ta coi hệ số của nó bằng 0 và vẫn phải điền vào lược đồ.

+ Bước 2: Cột thứ 2 của hàng 2 ta hạ hệ số a₀ ở hàng trên xuống. Đây chính là hệ số đầu tiên của đa thức thương g(x) tìm được, tức là b₀.

+ Bước 3: Lấy số α nhân với hệ số vừa tìm được (b₀) ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1.

(Ví dụ nếu ta muốn tìm hệ số b₁ ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy α nhân với hệ số b₀ sau đó cộng với hệ số a₁ ở hàng trên; tương tự như vậy nếu ta muốn tìm hệ số b₂ ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy α nhân với hệ số b₁ sau đó cộng với hệ số a₂ ở hàng trên,...).

* Cách tính hệ số nhớ quy tắc: NHÂN NGANG, CỘNG CHÉO

+ Bước 4: Tiếp tục như vậy cho tới hệ số cuối cùng, khi đó ta được kết quả:

 f(x) = (x - α).g(x) + r

hay:

 a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n-1x¹ + a_n = (x - α).(b₀x^n-1 + b₁x^n-2 + ... + b_n-1) + r

* Lưu ý:

+) Bậc của đa thức g(x) luôn nhỏ hơn bậc của đa thức f(x) 1 đơn vị vì đa thức chia (x - α) có bậc là 1.

+) Nếu r = 0 thì đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) và x = α sẽ là một nghiệm của đa thức f(x). Trong trường hợp này chính là phân tích đa thức thành nhân tử. Để tìm được α, ta sẽ nhẩm một nghiệm nguyên của đa thức f(x), α chính là nghiệm mà ta vừa nhẩm được.

→ Ta có thể sử dụng lược đồ Hoocne để giải phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn) khi nhẩm được 1 nghiệm của phương trình này (hoặc đề bài cho trước 1 nghiệm).

II. Bài tập vận dụng Lược đồ Hoocne

* Bài tập 1: Thực hiện phép chia đa thức f(x) = -5x² + 2x⁴  + 7x - 4 cho đa thức x + 2.

* Lời giải:

- Lưu ý quan trọng: nếu chia cho đa thức x - 2 thì α = 2, còn nếu chia cho đa thức x + 2 thì α = -2.

Để ý rằng f(x) chưa được sắp xếp theo thứ tự số mũ giảm dần, và hệ số của x³ là 0, ta viết lại f(x) như sau:

 f(x) = 2x⁴ - 5x² + 7x - 4

Theo hướng dẫn trên ta có lược đồ Hoocne sau:

Vậy đa thức g(x) tìm được là:

 g(x) = 2x³ - 4x² + 3x + 1 và r = -6

Vậy khi chia đa thức f(x) = 2x⁴ - 5x² + 7x - 4 cho đa thức x + 2 ta được:

 f(x) = (x + 2)(2x³ - 4x² + 3x + 1) - 6

Trong chương trình học hiện nay, rất ít bài toán yêu cầu thực hiện phép chia đa thức bằng sơ đồ Hoocne. Lược đồ Hoocne này chủ yếu được sử dụng trong một số bài toán kiểu như sau:

+) Chia đa thức cho đa thức một cách nhanh nhất.

+) Tìm nghiệm của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4, phương trình bậc cao.

+) Phân tích đa thức thành nhân tử (với những đa thức có bậc lớn hơn 2).

⇒ Hiện nay, chúng ta chủ yếu vận dụng lược đồ Hoocne để giải phương trình bậc 3.

* Bài tập 2: Giải phương trình bậc 3: x³ + x² = 12 (*), biết x = 2 là một nghiệm của phương trình

* Lời giải:

Phương trình (*) ⇔ x³ + x² - 12 = 0

Vì x = 2 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (x³ + x² – 12) chia cho

(x – 2). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:

Vậy x³ + x² – 12 = (x – 2).(x² + 3x + 6)

Khi đó: x³ + x² – 12 = 0

⇔ (x – 2).(x² + 3x + 6) = 0

⇔ x - 2 = 0 hoặc x² + 3x + 6 = 0

Xét phương trình:  x – 2 = 0 ⇔ x = 2

Xét phương trình:  x² + 3x + 6 = 0 có ∆ = 3²  - 4.1.6 = -15 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Vây phương trình có nghiệm duy nhất  x = 2

* Bài tập 3: Tìm nghiệm của phương trình bậc 3 sau: 3x³ - 2x² - 5x + 4 = 0 biết x = 1 là một nghiệm của phương trình.

* Lời giải:

Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (3x³ - 2x² - 5x + 4) chia cho

(x – 1). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:

Vậy 3x³ - 2x² - 5x + 4 = (x – 1).(3x² - 2x - 5)

Khi đó: x³ - 2x² - 5x + 4 = 0

⇔ (x – 1).(3x² - 2x - 5) = 0

⇔ x - 1 = 0 hoặc 3x² - 2x - 5 = 0

Xét phương trình:  x – 1 = 0 ⇔ x = 1

Xét phương trình:  3x² - 2x - 5 = 0 có ∆ = (-2)² - 4.3.(-5)= 64 nên phương trình có 2 nghiệm: x₁ = -1 và x₂ = 5/3.

Vây phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = -1; x = 5/3.