Lược đồ Hoocne: Cách sử dụng để chia đa thức và bài tập vận dụng (Toán 8)

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ hướng dẫn các em chi tiết cấu trúc, quy tắc và cách lập lược đồ Hoocne để chia đa thức, đi kèm hệ thống bài tập vận dụng trực quan nhất.

I. Phương Pháp Sử Dụng Lược Đồ Hoocne

Lược đồ Hoocne là một sơ đồ toán học dùng để tìm nhanh các hệ số của đa thức thương và số dư khi chia một đa thức $f(x)$ bất kỳ cho một nhị thức bậc nhất có dạng $(x - \alpha)$.

1. Công thức và cấu trúc tổng quát của lược đồ

Giả sử chúng ta có đa thức bị chia bậc $n$ dạng tổng quát:

Khi thực hiện phép tính chia đa thức $f(x)$ cho nhị thức $(x - \alpha)$, ta sẽ nhận được đa thức thương $g(x)$ có bậc nhỏ hơn đa thức ban đầu một đơn vị và một số dư $r$:

Cấu trúc khung bảng của lược đồ Hoocne được thiết lập gồm 2 hàng và các cột tương ứng như sau:

2. Các bước thực hiện lập sơ đồ

Để tính toán nhanh các giá trị ở hàng thứ hai của sơ đồ, các em chỉ cần ghi nhớ quy tắc cốt lõi: "Nhân ngang, cộng chéo". Quy trình gồm 5 bước cụ thể:

• Bước 1: Sắp xếp đa thức bị chia $f(x)$ theo thứ tự giảm dần của số mũ biến số. Điền tất cả các hệ số của hàng lực vào hàng đầu tiên của bảng. Lưu ý: Nếu đa thức bị khuyết một bậc nào đó, ta bắt buộc phải điền hệ số của bậc đó bằng 0.

• Bước 2: Xác định giá trị $\alpha$ (chính là nghiệm của nhị thức chia, tìm bằng cách cho $x - \alpha = 0$). Đặt số $\alpha$ này ở cột đầu tiên của hàng thứ hai.

• Bước 3: Hạ hệ số đầu tiên của đa thức thương xuống hàng thứ hai, ta luôn luôn có:

  $$b_0 = a_0$$

• Bước 4: Lần lượt tính các hệ số tiếp theo theo quy tắc lấy số $\alpha$ nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng dưới, rồi cộng chéo với hệ số tương ứng ngay phía trên nó ở hàng trên:

  $$b_1 = \alpha \cdot b_0 + a_1$$
  $$b_2 = \alpha \cdot b_1 + a_2$$

• Bước 5: Thực hiện liên tiếp cho đến ô cuối cùng của hàng thứ hai. Giá trị cuối cùng này chính là số dư $r$ của phép chia. Các hệ số đứng trước nó là hệ số của đa thức thương $g(x)$.

Lưu ý quan trọng:

• Bậc của đa thức thương $g(x)$ luôn luôn nhỏ hơn bậc của đa thức bị chia $f(x)$ đúng 1 đơn vị.

• Nếu số dư cuối cùng $r = 0$, ta kết luận đa thức $f(x)$ chia hết cho nhị thức $(x - \alpha)$. Khi đó, giá trị $\alpha$ chính là một nghiệm của đa thức $f(x)$.

II. Bài Tập Vận Dụng Lược Đồ Hoocne Chi Tiết

Bài tập 1: Thực hiện phép tính chia đa thức bậc cao

Thực hiện phép tính chia đa thức $f(x) = 2x^4 - 5x^2 + 7x - 4$ cho đa thức $x + 2$.

Lời giải:

Bước 1: Viết lại đa thức $f(x)$ bổ sung các bậc khuyết bằng hệ số 0:

$f(x) = 2x^4 + 0x^3 - 5x^2 + 7x - 4$

Bước 2: Đa thức chia là $x + 2$, tức là dạng $x - (-2)$, do đó hệ số nghiệm $\alpha = -2$.

Bước 3: Thiết lập lược đồ Hoocne áp dụng quy tắc "Nhân ngang, cộng chéo":

Bước 4: Đọc kết quả từ sơ đồ bảng:

Hàng dưới cho ta các hệ số của đa thức thương là $2, -4, 3, 1$ và số dư cuối cùng là $-6$.

Vì đa thức bị chia ban đầu có bậc 4 nên đa thức thương sẽ giảm xuống bậc 3:

$g(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1$

Kết luận: Phép tính chia đa thức được biểu diễn dưới dạng hệ thức:

$2x^4 - 5x^2 + 7x - 4 = (x + 2)(2x^3 - 4x^2 + 3x + 1) - 6$

Bài tập 2: Giải phương trình đại số bậc 3

Giải phương trình bậc ba sau đây: $x^3 + x^2 = 12$, biết rằng phương trình có một nghiệm cho trước là $x = 2$.

Lời giải:

Bước 1: Chuyển tất cả các số hạng về vế trái và bổ sung bậc khuyết để đưa phương trình về dạng chuẩn:

$x^3 + x^2 + 0x - 12 = 0$

Bước 2: Vì phương trình có một nghiệm cho trước là $x = 2$, ta thực hiện chia đa thức vế trái cho nhị thức $(x - 2)$ với hệ số $\alpha = 2$.

Bước 3: Lập bảng lược đồ Hoocne để tìm đa thức thương hạ bậc:

Bước 4: Số dư thu được bằng 0 (hoàn toàn khớp với giả thiết $x = 2$ là nghiệm). Đa thức thương hạ từ bậc 3 xuống bậc 2 có các hệ số là $1, 3, 6$:

$g(x) = x^2 + 3x + 6$

Bước 5: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng phương trình tích:

$(x - 2)(x^2 + 3x + 6) = 0$

Trường hợp 1:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Trường hợp 2:

$x^2 + 3x + 6 = 0$

Xét biệt thức Delta để kiểm tra nghiệm của đa thức bậc hai:

$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$

Vì $\Delta < 0$ nên phương trình bậc hai này hoàn toàn vô nghiệm.

Kết luận: Tập nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu là $S = \{2\}$.

Bài tập 3: Tìm tập hợp nghiệm của phương trình bậc cao

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình bậc ba sau: $3x^3 - 2x^2 - 5x + 4 = 0$, biết rằng phương trình có một nghiệm cho trước là $x = 1$.

Lời giải:

Bước 1: Vì bài toán cho trước một nghiệm $x = 1$, ta tiến hành chia đa thức vế trái cho nhị thức $(x - 1)$ với hệ số $\alpha = 1$.

Bước 2: Thiết lập bảng sơ đồ Hoocne để tìm đa thức thương hạ bậc:

Bước 3: Đa thức thương tìm được sau khi hạ bậc là:

$g(x) = 3x^2 + x - 4$

Bước 4: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng phương trình tích hằng số:

$(x - 1)(3x^2 + x - 4) = 0$

Trường hợp 1:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Trường hợp 2:

$3x^2 + x - 4 = 0$

Xét biệt thức Delta để giải phương trình bậc hai:

$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$

Vì $\Delta > 0$ nên phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = 1$

Kết luận: Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình bậc ba ban đầu là: $S = \left\{1; -\frac{4}{3}\right\}$.