Lược đồ Hoocne: Cách sử dụng để chia đa thức và bài tập vận dụng (Toán 8)

09:05:0231/07/2022

Chào các em! Trong chương trình Toán nâng cao, đặc biệt là khi làm việc với đa thức bậc cao, việc thực hiện phép chia hoặc phân tích đa thức thành nhân tử có thể gặp nhiều khó khăn. Lược đồ Hoocne (sơ đồ Horner) là một công cụ cực kỳ hiệu quả để giải quyết vấn đề này một cách nhanh chóng và chính xác.

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em chi tiết về cách sử dụng lược đồ Hoocne để chia đa thức, cùng với các bài tập vận dụng cụ thể giúp các em nắm vững phương pháp.

I. Cách sử dụng lược đồ Hoocne

Lược đồ Hoocne là một phương pháp toán học giúp thực hiện phép chia đa thức $f(x)$ cho nhị thức $(x-\alpha)$ một cách hiệu quả.

1. Công thức và cấu trúc của lược đồ

Giả sử chúng ta có đa thức: $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n$

Khi chia $f(x)$ cho $(x-\alpha)$ , ta sẽ nhận được một đa thức thương $g(x)=b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+...+b_{n-1}$ và số dư $r$ .

Lược đồ Hoocne có dạng:

Lược đồ Hoocne sử dụng trong phép chia đa thức

2. Các bước thực hiện

Để sử dụng lược đồ Hoocne, ta thực hiện theo quy tắc "Nhân ngang, cộng chéo":

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức $f(x)$ theo thứ tự số mũ giảm dần của $x$ vào hàng đầu tiên. Nếu đa thức khuyết một bậc nào đó, ta điền hệ số của bậc đó là 0.
Bước 2: Đặt số $\alpha$ (nghiệm của nhị thức $x-\alpha=0$ ) vào cột đầu tiên của hàng thứ hai.
Bước 3: Hệ số đầu tiên của đa thức thương ( $b_0$ ) bằng hệ số đầu tiên của đa thức bị chia ( $a_0$ ). Hạ $a_0$ xuống hàng thứ hai.
Bước 4: Lần lượt tính các hệ số tiếp theo: Lấy $\alpha$ nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng dưới, sau đó cộng với hệ số tương ứng ở hàng trên.

$b_1=\alpha\cdot b_0+a_1$

$b_2=\alpha\cdot b_1+a_2$

...
Bước 5: Kết quả cuối cùng ở hàng dưới là các hệ số của đa thức thương $g(x)$ và số dư $r$ .

Lưu ý quan trọng:

Bậc của đa thức $g(x)$ luôn nhỏ hơn bậc của đa thức $f(x)$ một đơn vị.
Nếu số dư $r=0$ , đa thức $f(x)$ chia hết cho $(x-\alpha)$ . Khi đó, $\alpha$ là một nghiệm của $f(x)$ .

II. Bài tập vận dụng lược đồ Hoocne

Lược đồ Hoocne đặc biệt hữu dụng trong việc giải phương trình bậc cao hoặc phân tích đa thức thành nhân tử.

Bài tập 1: Chia đa thức

Thực hiện phép chia đa thức $f(x)=2x^4-5x^2+7x-4$ cho đa thức $x+2$ .

Lời giải:

Bước 1: Viết lại đa thức $f(x)$ theo thứ tự giảm dần của số mũ và điền hệ số của $x^3$ bằng 0:

$f(x)=2x^4+0x^3-5x^2+7x-4$ .
Bước 2: Ta chia cho $x+2$ , tức là $x-(-2)$ , nên $\alpha=-2$ .
Bước 3: Lập lược đồ Hoocne:

x 2 0 -5 7 -4

α = -2 2 (-2).2+0=-4 (-2).(-4)+(-5)=3 (-2).3+7=1 (-2).1+(-4)=-6
Bước 4:
- Đa thức thương là $$g(x)=2x^3-4x^2+3x+1$.$
- Số dư là $$r=-6$.$
Kết luận: $$2x^4-5x^2+7x-4=(x+2)(2x^3-4x^2+3x+1)-6$.$

Bài tập 2: Giải phương trình bậc 3

Giải phương trình $x^3+x^2=12$ , biết $x=2$ là một nghiệm.

Lời giải:

Bước 1: Viết lại phương trình: $$x^3+x^2+0x-12=0$.$
Bước 2: Vì $x=2$ là một nghiệm, ta chia đa thức $f(x)=x^3+x^2-12$ cho $(x-2)$ , với $\alpha=2$ .
Bước 3: Lập lược đồ Hoocne:

x 1 1 0 -12

2 1 2.1+1=3 2.3+0=6 2.6-12=0
Bước 4:
- Đa thức thương là $$g(x)=x^2+3x+6$.$
- Số dư $r=0$ (khớp với giả thiết $x=2$ là nghiệm).
Kết luận: Phương trình tương đương với $$(x-2)(x^2+3x+6)=0$.$
- suy ra
- $x^2+3x+6=0$ .
  
  Ta có $\Delta=3^2-4\cdot 1\cdot 6=9-24=-15<0$ , nên phương trình này vô nghiệm.
  
  Vậy, phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x =2.

Bài tập 3: Tìm nghiệm của phương trình bậc 3

Tìm nghiệm của phương trình $3x^3-2x^2-5x+4=0$ , biết $x=1$ là một nghiệm.

Lời giải:

Bước 1: Vì $x=1$ là một nghiệm, ta chia đa thức $f(x)=3x^3-2x^2-5x+4$ cho $(x-1)$ , với $\alpha=1$ .
Bước 2: Lập lược đồ Hoocne:

x 3 -2 -5 4

1 3 1.3+(-2)=1 1.1+(-5)=-4 1.(-4)+4=0
Bước 3:
- Đa thức thương là $$g(x)=3x^2+x-4$.$
- Số dư $$r=0$.$
Kết luận: Phương trình tương đương với $$(x-1)(3x^2+x-4)=0$.$
- suy ra
- $3x^2+x-4=0$ .
  
  Ta có $\Delta=1^2-4\cdot 3\cdot(-4)=1+48=49>0$ .
  
  Phương trình có hai nghiệm:
  
  $x_1=\frac{-1-\sqrt{49}}{2\cdot 3}=\frac{-1-7}{6}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}$
  
  $x_2=\frac{-1+\sqrt{49}}{2\cdot 3}=\frac{-1+7}{6}=\frac{6}{6}=1$
  
  Vậy, phương trình ban đầu có các nghiệm là $x=1$ và $x=-\frac{4}{3}$ .

Lược đồ Hoocne là một công cụ mạnh mẽ và linh hoạt trong đại số. Nắm vững cách sử dụng lược đồ này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán về chia đa thức, tìm nghiệm và phân tích nhân tử một cách nhanh chóng, hiệu quả, đặc biệt là với các đa thức bậc cao. Hãy luyện tập thường xuyên để làm chủ phương pháp này nhé!