Bài 5.14 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết, lập luận chặt chẽ từng bước giúp các em học sinh nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 5.14 (SGK Toán 10 - Trang 88)

Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được các số đặc trưng sau:

• Giá trị nhỏ nhất ($\text{Min}$) $= 2,5$

• Tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) $= 36$

• Tứ phân vị thứ hai (Trung vị $Q_2$) $= 60$

• Tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) $= 100$

• Giá trị lớn nhất ($\text{Max}$) $= 205$

Câu hỏi:

• a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn $36$ là bao nhiêu?

• b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có khoảng $50\%$ giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này?

• c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

II. Bản chất lý thuyết phân bố Tứ phân vị

Để giải quyết các câu hỏi định tính về tỷ lệ phần trăm này một cách siêu tốc, các em học sinh của Hay Học Hỏi chỉ cần nhớ bản chất cốt lõi của tứ phân vị:

Bộ ba giá trị tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$ sau khi sắp xếp dãy số sẽ chia toàn bộ dung lượng mẫu dữ liệu ra làm 4 phần đều nhau, mỗi phần chiếm xấp xỉ $25\%$ số lượng phần tử của mẫu:

• Khoảng từ $\text{Min}$ đến $Q_1$: Chiếm khoảng $25\%$ số liệu thấp nhất.

• Khoảng từ $Q_1$ đến $Q_2$: Chiếm khoảng $25\%$ số liệu tiếp theo.

• Khoảng từ $Q_2$ đến $Q_3$: Chiếm khoảng $25\%$ số liệu tiếp theo.

• Khoảng từ $Q_3$ đến $\text{Max}$: Chiếm khoảng $25\%$ số liệu cao nhất.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.14

a) Tính tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn $36$

• Lập luận thống kê: Theo giả thiết, mốc thuế thuốc lá bằng $36$ chính là giá trị của tứ phân vị thứ nhất ($Q_1 = 36$).

  Dựa vào lý thuyết phân bố, mốc $Q_1$ chia mẫu số liệu thành hai phần: phần nằm phía dưới $Q_1$ chiếm $25\%$ và phần nằm phía trên (lớn hơn) $Q_1$ chiếm phần dung lượng còn lại.

• Tính toán tỷ lệ:

  Tỉ lệ các thành phố có mức thuế thuốc lá lớn hơn $Q_1$ được xác định bằng phép tính:

  $$100\% - 25\% = 75\%$$

Kết luận câu a: Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn $36$ là khoảng $75\%$ (hoặc tính chi tiết theo vị trí phần tử là $\frac{38}{51} \approx 74,51\%$).

b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có $50\%$ giá trị mẫu số liệu nằm giữa chúng

• Lập luận thống kê:

  Đề bài yêu cầu tìm một khoảng lõi chứa đúng $50\%$ lượng dữ liệu tập trung ở giữa.

  Theo cấu trúc của biểu đồ hộp, khoảng dữ liệu từ tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) đến tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) được hợp thành từ hai khoảng con: khoảng $[Q_1; Q_2]$ (chiếm $25\%$) và khoảng $[Q_2; Q_3]$ (chiếm $25\%$).

• Xác định giá trị:

  Tổng dung lượng dữ liệu nằm trong đoạn từ $Q_1$ đến $Q_3$ chính bằng: $25\% + 25\% = 50\%$.

  Đối chiếu với số liệu đề bài cho: $Q_1 = 36$ và $Q_3 = 100$.

Kết luận câu b: Hai giá trị cần tìm là $36$ và $100$. Có khoảng $50\%$ số thành phố có mức thuế thuốc lá nằm trong khoảng từ $36$ đến $100$.

c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu

• Khoảng tứ phân vị (ký hiệu là $\Delta Q$) là đại lượng đo độ phân tán của $50\%$ lượng dữ liệu nằm ở chính giữa mẫu, được xác định bằng công thức hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất:

  $$\Delta Q = Q_3 - Q_1$$

• Tiến hành thay các giá trị định lượng đề bài cho vào hệ thức:

  $$\Delta Q = 100 - 36 = 64$$

Kết luận câu c: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu về thuế thuốc lá là $64$.

IV. Mẹo quét nhanh đáp án bài toán phân vị (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh tạo phản xạ nhẩm siêu tốc khi đối diện với các câu hỏi trắc nghiệm đồ thị phân vị, các em hãy thuộc lòng bảng quy đổi mốc "thần chú" sau:

Bảng mẹo tư duy này giúp các em học sinh có thể chốt ngay đáp án đúng chỉ trong vòng 2 giây mà không cần mất thời gian đặt bút đếm vị trí phần tử hay chia phân số lập tỷ lệ ra nháp!

V. Kết luận

Bài tập 5.14 là một câu hỏi ứng dụng thực tế vô cùng tinh tế, giúp học sinh khắc sâu bản chất hình học của các mốc phân vị trên biểu đồ hộp thống kê. Việc hiểu rõ cơ chế phân chia $25\%$ đều đặn của bộ ba $Q_1, Q_2, Q_3$ sẽ giúp các em học sinh rèn luyện tư duy phân tích số liệu cực kỳ sắc bén.