Bài 4.36 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết, lập luận chặt chẽ từng bước giúp các em học sinh đạt điểm số tuyệt đối.

I. Đề bài tập 4.36 (SGK Toán 10 - Trang 72)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho bốn điểm $A(1; 2)$, $B(3; 4)$, $C(-1; -2)$ và $D(6; 5)$.

• a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.

• b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương.

• c) Giả sử $E$ là điểm có tọa độ $(a; 1)$. Tìm $a$ để vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương.

• d) Với $a$ tìm được, hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{AE}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

II. Các định lý và công thức toán học cốt lõi

1. Tọa độ vectơ qua hai điểm: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

2. Điều kiện cùng phương của hai vectơ: Hai vectơ $\vec{u}(x_1; y_1)$ và $\vec{v}(x_2; y_2)$ cùng phương khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng của chúng lập thành tỉ lệ thức:

   $$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \quad (\text{với } x_2, y_2 \neq 0)$$

3. Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Để biểu diễn $\overrightarrow{AE} = u \cdot \overrightarrow{AB} + v \cdot \overrightarrow{AC}$, ta lập hệ phương trình đại số dựa trên tính chất bằng nhau của vectơ:

   $$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AE}} = u \cdot x_{\overrightarrow{AB}} + v \cdot x_{\overrightarrow{AC}} \\ y_{\overrightarrow{AE}} = u \cdot y_{\overrightarrow{AB}} + v \cdot y_{\overrightarrow{AC}} \end{cases}$$

III. Lời giải chi tiết bài 4.36

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$

Ta áp dụng công thức lấy tọa độ điểm ngọn trừ tọa độ điểm gốc:

• Vectơ $\overrightarrow{AB}$:

  $$\overrightarrow{AB} = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2)$$

• Vectơ $\overrightarrow{CD}$:

  $$\overrightarrow{CD} = (6 - (-1); 5 - (-2)) = (7; 7)$$

Kết luận câu a: Tọa độ hai vectơ cần tìm là $\overrightarrow{AB}(2; 2)$ và $\overrightarrow{CD}(7; 7)$.

b) Giải thích tại sao các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương

• Cách lập luận tỉ số: Ta lập tỉ số giữa hoành độ và tung độ của hai vectơ $\overrightarrow{AB}(2; 2)$ và $\overrightarrow{CD}(7; 7)$:

  $$\text{Tỉ số hoành độ: } \frac{7}{2} \quad ; \quad \text{Tỉ số tung độ: } \frac{7}{2}$$

  Vì hai tỉ số này bằng nhau $\left(\frac{7}{2} = \frac{7}{2}\right)$ nên theo định lý tọa độ, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương với nhau.

• Cách lập luận hệ số $k$: Ta thấy rõ ràng $\overrightarrow{CD} = (7; 7) = \frac{7}{2} \cdot (2; 2) = \frac{7}{2}\overrightarrow{AB}$. Vì tồn tại số thực $k = \frac{7}{2}$ thỏa mãn $\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}$ nên hai vectơ này cùng phương (và cùng hướng).

c) Tìm $a$ để vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương

• Bước 1: Tính tọa độ các vectơ theo tham số $a$

  • Với $A(1; 2)$ và $C(-1; -2) \Rightarrow \overrightarrow{AC} = (-1 - 1; -2 - 2) = (-2; -4)$

  • Với $B(3; 4)$ và $E(a; 1) \Rightarrow \overrightarrow{BE} = (a - 3; 1 - 4) = (a - 3; -3)$

• Bước 2: Thiết lập phương trình cùng phương

  Để hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương, tỉ số các tọa độ tương ứng phải bằng nhau:

  $$\frac{a - 3}{-2} = \frac{-3}{-4} \Leftrightarrow \frac{a - 3}{-2} = \frac{3}{4}$$

  Ta tiến hành nhân chéo hai vế của phương trình:

  $$4 \cdot (a - 3) = 3 \cdot (-2) \Leftrightarrow 4a - 12 = -6 \Leftrightarrow 4a = 6 \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}$$

Kết luận câu c: Với $a = \frac{3}{2}$ thì hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương với nhau.

d) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AE}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$

• Bước 1: Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{AE}$

  Với giá trị $a = \frac{3}{2}$ vừa tìm được ở câu c, ta có tọa độ điểm $E\left(\frac{3}{2}; 1\right)$.

  Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AE}$ là:

  $$\overrightarrow{AE} = \left(\frac{3}{2} - 1; 1 - 2\right) = \left(\frac{1}{2}; -1\right)$$

• Bước 2: Lập hệ phương trình đại số (Theo hình ảnh đính kèm)

  Giả sử tồn tại hai số thực $u$ và $v$ sao cho: $\overrightarrow{AE} = u \cdot \overrightarrow{AB} + v \cdot \overrightarrow{AC}$.

  Ta có tọa độ các vectơ thành phần: $\overrightarrow{AE}\left(\frac{1}{2}; -1\right)$, $\overrightarrow{AB}(2; 2)$, $\overrightarrow{AC}(-2; -4)$.

  Đồng nhất tọa độ hoành và tung, ta thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

  $$\begin{cases} 2u - 2v = \frac{1}{2} \\ 2u - 4v = -1 \end{cases}$$

• Bước 3: Giải hệ phương trình tìm cặp số $u, v$

  Ta lấy phương trình đầu trừ đi phương trình sau theo vế (phương pháp thế/cộng đại số):

  $$(2u - 2v) - (2u - 4v) = \frac{1}{2} - (-1) \Leftrightarrow 2v = \frac{3}{2} \Leftrightarrow v = \frac{3}{4}$$

  Thế giá trị $v = \frac{3}{4}$ ngược lại vào phương trình đầu tiên:

  $$2u - 2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2u - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2u = 2 \Leftrightarrow u = 1$$

Kết luận câu d: Cặp số thực thỏa mãn là $u = 1$ và $v = \frac{3}{4}$. Vậy vectơ $\overrightarrow{AE}$ được biểu thị theo hai vectơ gốc là:

IV. Mẹo nhẩm nhanh câu c bằng quy tắc nhân chéo (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn đạt tốc độ phản xạ tối đa khi làm bài thi trắc nghiệm, đối với yêu cầu tìm tham số $a$ để hai vectơ $\vec{u}(x_1; y_1)$ và $\vec{v}(x_2; y_2)$ cùng phương, các em hãy áp dụng quy tắc "Tích chéo bằng nhau":

• Áp dụng vào câu c: Ta có $\overrightarrow{AC}(-2; -4)$ và $\overrightarrow{BE}(a - 3; -3)$.

• Thực hiện nhân hoành độ này với tung độ kia:

  $$(-2) \cdot (-3) = (-4) \cdot (a - 3)$$
  $$6 = -4a + 12 \Leftrightarrow 4a = 6 \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}$$

• Phương pháp này giúp học sinh tránh hoàn toàn bẫy chia cho số 0 nếu tham số nằm dưới mẫu số và tính toán nhanh gọn chỉ trong 3 giây!

V. Kết luận

Bài tập 4.36 là một câu hỏi hình học Oxy rất hay và toàn diện, giúp học sinh củng cố vững chắc mạch kiến thức về tính chất cùng phương và kỹ năng giải hệ phương trình tuyến tính để phân tích vectơ. Việc thành thạo phương pháp lập hệ số đồng nhất hoành – tung sẽ là bệ phóng giúp các em xử lý tốt các bài toán hình học phẳng cực trị ở lớp 10 và hình học không gian $Oxyz$ ở lớp 12.