Giải bài 2.5 trang 30 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a)

b)

c)

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta thực hiện các bước sau:

1. Vẽ đường thẳng biên cho mỗi bất phương trình. Dựa vào dấu bất phương trình để xác định đường thẳng là nét liền ($\ge$, $\le$) hay nét đứt (>, <).

2. Xác định nửa mặt phẳng chứa miền nghiệm của từng bất phương trình (thường bằng cách thử điểm $O(0;0)$).

3. Gạch bỏ các miền không phải là nghiệm.

4. Miền nghiệm của hệ là phần mặt phẳng không bị gạch sau cùng.

Lời giả chi tiết:

a) Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình y – x < - 1 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.

- Vẽ đường thẳng d: y - x = - 1 .

- Lấy điểm O(0;0) thay vào bất phương trình được: 0 - 0 = 0 > -1 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình y – x < -1.

⇒ Miền nghiệm D₁ của bất phương trình y – x < - 1 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ và không chứa biên.

Miền nghiệm D₂ của bất phương trình x > 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) và không chứa biên.

Miền nghiệm D₃ của bất phương trình y < 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;-1) và không chứa biên.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không bị gạch ở hình sau:

b) Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1).

Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình 2x + y ≤ 4 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.

- Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 4.

- Lấy điểm O(0;0) thay vào bất phương trình được:  2.0 + 0 = 0 < 4 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 4.

Miền nghiệm D₃ của bất phương trình 2x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ.

Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình sau:

c) Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

Xác định miền nghiệm D₂ của bất phương trình x + y > 5 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.

- Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 5.

- Lấy điểm O(0;0) thay vào bất phương trình được: 0 + 0 = 0 < 5 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình x + y > 5.

Vì vậy, miền nghiệm D₂ của bất phương trình x + y > 5 là nửa mặt phẳng bờ d₁ không chứa gốc tọa độ và không chứa đường thẳng d₁.

+ Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình x - y < 0 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.

- Vẽ đường thẳng d₂: x – y = 0.

- Lấy điểm M(1;-1) thay vào bất phương trình được: 1 – (-1) = 2 > 0 nên tọa độ điểm M(1;-1) không thỏa mãn bất phương trình x – y < 0.

Vì vậy, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x – y < 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ không chứa điểm M(1;-1) và không chứa đường thẳng d₂.

Khi đó miền không bị gạch và không chứa biên chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong hình sau và không tính đường thẳng d₁ và d₂.