Bài 4.27 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết và mẹo nhẩm nhanh đáp án trong phòng thi.

I. Đề bài tập 4.27 (SGK Toán 10 - Trang 71)

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

• A. $\vec{u}(2; 3)$và$\vec{v}\left(\frac{1}{2}; 6\right)$

• B. $\vec{a}(\sqrt{2}; 6)$và$\vec{b}(1; 3\sqrt{2})$

• C. $\vec{i}(0; 1)$và$\vec{j}(1; 0)$

• D. $\vec{c}(1; 3)$và$\vec{d}(2; -6)$

II. Phương pháp giải và công thức cốt lõi

Định nghĩa tổng quát: Hai vectơ $\vec{u}(x_1; y_1)$ và $\vec{v}(x_2; y_2)$ (đều khác $\vec{0}$) được gọi là cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực $k \neq 0$ sao cho $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$.

Mẹo lập tỷ số giải nhanh: Trong trường hợp các tọa độ thành phần đều khác số $0$, hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng của chúng lập thành một tỷ lệ thức cân bằng:

$$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$$

Nếu tỷ số hoành độ khác tỷ số tung độ, hai vectơ đó không cùng phương (cắt nhau hoặc chéo nhau).

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.27

Chúng ta tiến hành lập tỷ số tọa độ phẳng cho từng phương án để loại trừ và tìm ra đáp án đúng:

• Xét phương án A:Ta lập tỷ số giữa hoành độ và tung độ của hai vectơ$\vec{u}(2; 3)$và$\vec{v}\left(\frac{1}{2}; 6\right)$:

  $$\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \quad \text{và} \quad \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

  Vì$4 \neq \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{2}{\frac{1}{2}} \neq \frac{3}{6}$nên hai vectơ$\vec{u}$và$\vec{v}$không cùng phương. $\rightarrow$ A sai.

• Xét phương án B:Ta lập tỷ số giữa hoành độ và tung độ của hai vectơ$\vec{a}(\sqrt{2}; 6)$và$\vec{b}(1; 3\sqrt{2})$:

  • Tỷ số hoành độ: $\frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$

  • Tỷ số tung độ: $\frac{6}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

  Vì hai tỷ số bằng nhau$\frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{6}{3\sqrt{2}} = \sqrt{2}$nên hai vectơ$\vec{a}$và$\vec{b}$cùng phương với nhau (hằng số tỷ lệ$k = \sqrt{2}$). $\rightarrow$ B đúng.

• Xét phương án C:Đối với cặp vectơ đơn vị$\vec{i}(0; 1)$và$\vec{j}(1; 0)$,ta thấy tỷ số hoành độ$\frac{0}{1} = 0$,còn tỷ số tung độ$\frac{1}{0}$không tồn tại (phép chia cho số 0 không xác định).Do đó hai vectơ này không cùng phương. $\rightarrow$ C sai.

• Xét phương án D:Ta lập tỷ số đối với hai vectơ$\vec{c}(1; 3)$và$\vec{d}(2; -6)$:

  $$\frac{1}{2} \quad \text{và} \quad \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$$

  Vì$\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$nên hai vectơ$\vec{c}$và$\vec{d}$không cùng phương (chúng vuông góc với nhau vì có tích vô hướng$1\cdot2 + 3\cdot(-6) \neq 0$). $\rightarrow$ D sai.

Đáp án chính xác: B

IV. Mẹo tránh bẫy tính toán căn thức (Dành cho thi trắc nghiệm)

Khi làm câu hỏi này, học sinh rất dễ bị rối hoặc mất thời gian ở phương án B do có chứa căn thức bậc hai $\sqrt{2}$ ở mẫu số.

• Cách nhẩm nhanh không cần chia: Để kiểm tra tỷ số $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$ có bằng nhau hay không, các em có thể áp dụng quy tắc nhân chéo:

  $$x_1 \cdot y_2 = x_2 \cdot y_1$$

• Áp dụng vào phương án B: Ta lấy hoành độ vectơ này nhân tung độ vectơ kia: $\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$. Tiếp tục lấy tung độ vectơ này nhân hoành độ vectơ kia: $6 \cdot 1 = 6$.

• Vì $6 = 6$ (luôn đúng) nên chúng ta chốt ngay được phương án B chỉ trong vòng 3 giây mà không cần thực hiện phép trục căn thức ở mẫu số phức tạp!

V. Kết luận

Bài tập 4.27 là một bài toán trắc nghiệm lý thuyết tọa độ căn bản nhưng đòi hỏi học sinh phải tính toán cẩn thận, đặc biệt là các phép tính chứa căn thức và phân số. Việc thành thạo mẹo nhân chéo sẽ giúp các em tiết kiệm tối đa thời gian làm bài thi.