Giải bài 2.13 trang 32 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:  trên mặt phẳng tọa độ. 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước sau:

1. Xác định và biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình thứ nhất:

   • Vẽ đường thẳng biên d1​:x+y=1. Vì bất phương trình có dấu "<", đường thẳng này sẽ là nét đứt.

   • Chọn điểm thử $O(0;0)$. Thay vào bất phương trình $x+y<1$, ta có $0+0=0<1$ (đúng).

   • Miền nghiệm của bất phương trình này là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ. Gạch bỏ nửa mặt phẳng còn lại.

2. Xác định và biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình thứ hai:

   • Vẽ đường thẳng biên d2​:2x−y=3. Vì bất phương trình có dấu "$\ge$", đường thẳng này sẽ là nét liền.

   • Chọn điểm thử $O(0;0)$. Thay vào bất phương trình $2x-y\ge 3$, ta có $2(0)-0=0\ge 3$ (sai).

   • Miền nghiệm của bất phương trình này là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ. Gạch bỏ nửa mặt phẳng còn lại.

3. Xác định miền nghiệm của cả hệ:

   • Miền nghiệm của hệ là phần không bị gạch chéo sau khi đã thực hiện cả hai bước trên.

Lời giải chi tiết:

+ Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x + y < 1 được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 1.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) thay vào d₁ được: 0 + 0 = 0 < 1 nên điểm O nằm trong miền nghiệm của bất phương trình.

⇒ Niền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d₁ (không bao gồm d₁) chứa gốc tọa độ.

+ Xác định miền nghiệm D₂ của bất phương trình 2x – y ≥ 3  được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng d₂: 2x – y = 3.

- Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) thay vào d₂ được: 2.0 – 0 = 0 < 3. Nên điểm O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

⇒ Miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d₂ (bao gồm cả d₂) và không chứa gốc tọa độ.

Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch trong hình vẽ trên.