Các công thức Biến đổi Căn thức bậc hai và Bài tập vận dụng Toán 9

Bài viết này hệ thống lại toàn bộ các công thức quan trọng và hướng dẫn giải chi tiết các dạng bài tập minh họa.

I. Hệ thống công thức biến đổi căn thức bậc hai

Khi thực hiện biến đổi, lưu ý rằng các biểu thức dưới dấu căn phải luôn không âm. Các điều kiện đi kèm là cơ sở quan trọng để đảm bảo tính xác định của biểu thức.

1. $\sqrt{A^2} = |A|$

2. $\sqrt{AB} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$ (với $A \ge 0, B \ge 0$)

3. $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ (với $A \ge 0, B > 0$)

4. $\sqrt{A^2B} = |A|\sqrt{B}$ (với $B \ge 0$)

5. $A\sqrt{B} = \sqrt{A^2B}$ (với $A \ge 0, B \ge 0$); $A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2B}$ (với $A < 0, B \ge 0$)

6. $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{1}{|B|}\sqrt{AB}$ (với $AB \ge 0, B \ne 0$)

7. $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A\sqrt{B}}{B}$ (với $B > 0$)

8. $\frac{C}{\sqrt{A} \pm B} = \frac{C(\sqrt{A} \mp B)}{A - B^2}$ (với $A \ge 0, A \ne B^2$)

9. $\frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{C(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A - B}$ (với $A, B \ge 0, A \ne B$)

II. Bài tập vận dụng các phép biến đổi căn thức

Bài 1: Tìm giá trị các biểu thức bằng cách biến đổi, rút gọn

a) $\sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}}$

• Cách 1: $\sqrt{\frac{25}{81}} \cdot \sqrt{\frac{16}{49}} \cdot \sqrt{\frac{196}{9}} = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 2}{9 \cdot 3} = \frac{40}{27}$

• Cách 2: $\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^2} \cdot \sqrt{\left(\frac{4}{7}\right)^2} \cdot \sqrt{\left(\frac{14}{3}\right)^2} = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{40}{27}$

b) $\sqrt{3\frac{1}{16} \cdot 2\frac{14}{25} \cdot 2\frac{34}{81}} = \sqrt{\frac{49}{16} \cdot \frac{64}{25} \cdot \frac{196}{81}}$

$= \sqrt{\frac{49}{16}} \cdot \sqrt{\frac{64}{25}} \cdot \sqrt{\frac{196}{81}} = \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{5} \cdot \frac{14}{9} = \frac{7 \cdot 2 \cdot 14}{5 \cdot 9} = \frac{196}{45}$

c) $\frac{\sqrt{640} \cdot \sqrt{34,3}}{\sqrt{567}} = \sqrt{\frac{640 \cdot 34,3}{567}} = \sqrt{\frac{64 \cdot 343}{567}} = \sqrt{\frac{64 \cdot 49 \cdot 7}{81 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{64 \cdot 49}{81}} = \frac{8 \cdot 7}{9} = \frac{56}{9}$

d) $\sqrt{24,6} \cdot \sqrt{810} \cdot \sqrt{11^2-5^2}$

$= \sqrt{24,6 \cdot 810} \cdot \sqrt{(11-5)(11+5)} = \sqrt{246 \cdot 81} \cdot \sqrt{6 \cdot 16}$

$= \sqrt{1296 \cdot 81 \cdot 16} = \sqrt{36^2 \cdot 9^2 \cdot 4^2} = 36 \cdot 9 \cdot 4 = 1296$

Bài 2: Rút gọn các biểu thức

a) $(\sqrt{8}-3\sqrt{2}+\sqrt{10})\sqrt{2}-\sqrt{5}$

$= (2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{5})\sqrt{2} - \sqrt{5} = (-\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{5})\sqrt{2} - \sqrt{5}$

$= -(\sqrt{2})^2 + \sqrt{5}(\sqrt{2})^2 - \sqrt{5} = -2 + 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = -2 + \sqrt{5}$

b) $0,2\sqrt{(-10)^2 \cdot 3} + 2\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}$

$= 0,2 \cdot 10\sqrt{3} + 2|\sqrt{3}-\sqrt{5}| = 2\sqrt{3} + 2(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 2\sqrt{5}$

d) $2\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2} + \sqrt{2 \cdot (-3)^2} - 5\sqrt{(-1)^4}$

$= 2|\sqrt{2}-3| + 3\sqrt{2} - 5 = 2(3-\sqrt{2}) + 3\sqrt{2} - 5 = 6 - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 5 = 1 + \sqrt{2}$

Bài 3: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức

a) $\sqrt{-9a}-\sqrt{9+12a+4a^2}$ tại $a=-9$

• Rút gọn: $3\sqrt{-a} - |3+2a|$

• Thay $a=-9$: $3\sqrt{-(-9)} - |3+2(-9)| = 3 \cdot 3 - |3-18| = 9 - 15 = -6$

b) $1+\frac{3m}{m-2}\sqrt{m^2-4m+4}$ tại $m=1,5$

• Rút gọn: $1 + \frac{3m}{m-2} \cdot |m-2| = 1 + 3m$

• Thay $m=1,5$: $1 + 3(1,5) = 1 + 4,5 = 5,5$

c) $\sqrt{1-10a-25a^2}-4a$ tại $a=\sqrt{2}$

• Rút gọn: $|1-5a| - 4a$

• Thay $a=\sqrt{2}$: $|1-5\sqrt{2}| - 4\sqrt{2} = (5\sqrt{2}-1) - 4\sqrt{2} = \sqrt{2}-1$

d) $4x-\sqrt{9x^2+6x+1}$ tại $x=-\sqrt{3}$

• Rút gọn: $4x - |3x+1|$

• Thay $x=-\sqrt{3}$: $4(-\sqrt{3}) - |3(-\sqrt{3})+1| = -4\sqrt{3} - (3\sqrt{3}-1) = 1-7\sqrt{3}$

Bài 4: Tìm x

a) $\sqrt{(2x-1)^2}=3 \Leftrightarrow |2x-1|=3$

• TH1: $2x-1=3 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$

• TH2: $2x-1=-3 \Rightarrow 2x=-2 \Rightarrow x=-1$

• Vậy $x \in \{2; -1\}$

b) $\frac{5}{3}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-2=\frac{1}{3}\sqrt{15x}$

• $\Leftrightarrow (\frac{5}{3} - 1 - \frac{1}{3})\sqrt{15x} = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{3}\sqrt{15x} = 2 \Leftrightarrow \sqrt{15x} = 6 \Leftrightarrow 15x = 36 \Leftrightarrow x = 2,4$

Bài 5: Cho biểu thức Q=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\left ( 1+\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}} \right ):\frac{b}{a-\sqrt{a^2-b^ (với a>b>0).

a) Rút gọn $Q$

$Q = \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}} - \left(1+\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}\right) \cdot \frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{b}$

$= \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}} - \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2-b^2}} \cdot \frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{b}$

$= \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}} - \frac{a^2-(a^2-b^2)}{b\sqrt{a^2-b^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}} - \frac{b^2}{b\sqrt{a^2-b^2}} = \frac{a-b}{\sqrt{(a-b)(a+b)}} = \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}$

b) Giá trị của $Q$ khi $a=3b$

$Q = \frac{\sqrt{3b-b}}{\sqrt{3b+b}} = \frac{\sqrt{2b}}{\sqrt{4b}} = \sqrt{\frac{2b}{4b}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

III. Lưu ý quan trọng khi biến đổi

• Điều kiện: Luôn ghi nhớ các điều kiện đi kèm ($A \ge 0, B > 0, \dots$) để tránh sai sót.

• Tính linh hoạt: Một biểu thức có thể rút gọn bằng nhiều cách khác nhau, nhưng kết quả cuối cùng phải giống nhau. Hãy chọn cách biến đổi mà bạn cảm thấy tự tin nhất.

• Luyện tập: Việc giải bài tập nhiều là cách duy nhất giúp ghi nhớ công thức một cách tự nhiên.