Hệ thức về Cạnh và Góc trong tam giác vuông, Bài tập vận dụng - Toán lớp 9

Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng ôn lại các công thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, đồng thời vận dụng các hệ thức thức này để giải các bài tập minh họa, qua đó vừa rèn kỹ năng giải toán vừa giúp các em dễ ghi nhớ công thức.

1. Các hệ thức liên hệ giữa góc và cạnh trong tam giác vuông

• Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề. 

 b = a.sinB = a.cosC

 b = c.tanB = c.cotC

 c = a.sinC = a.cosB

 c = b.tanC = b.cotB

→ Như vậy, nếu tam giác vuông cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại.

2. Bài tập vận dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

* Ví dụ 1 (Bài 26 trang 88 SGK Toán 9 Tập 1): Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34o và bóng của một tháo trên mặt đất dài 86m (h.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).

* Lời giải:

- Kí hiệu đỉnh như hình vẽ trên:

- Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông ABC, ta có:

⇒ Chiều cao tòa nhà là 58m.

* Ví dụ 2 (Bài 27 trang 88 SGK Toán 9 Tập 1): Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng: 

* Lời giải:

- Lưu ý: ΔABC vuông tại A thì , bài toán yêu cầu giải tam giác tức là cần tìm số đo các cạnh và các góc còn lại.

a) Ta có: 

- Lại có: c = b.tanC = 10.tan(30^o) ≈ 5,77 (cm)

- Suy ra: 

b) Ta có: 

 ⇒ ΔABC vuông cân tại A, nên:  b = c = 10 (cm)

 suy ra: 

c) Ta có:

 b = asinB = 20.sin35^o ≈ 11,47 (cm)

 c = asinC = 20.sin55^o ≈ 16,38 (cm)

d) Ta có: 

> Lưu ý: Để dễ vận dụng các công thức, các em nên sử dụng các kí hiệu cạnh là a, b, c (thay vì BC, AC, AB) theo công thức đã cho và cũng đồng bọ với đề bài.

- Để dễ nhớ công thức các em để ý: cạnh đối diện với góc A thì cạnh là a, góc B thì cạnh là b và góc C thì cạnh là c.

* Ví dụ 3 (Bài 28 trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc α trong hình 31).* Lời giải:

- Kí hiệu như hình vẽ trên.

- Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:

* Ví dụ 4 (Bài 29 trang 89 SGK Toán 9 Tập 1):Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc α trong hình 32)

* Lời giải:

- Kí hiệu như hình vẽ trên.

- Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:

* Ví dụ 5 (Bài 30 trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, ∠ABC = 38^o, ∠ACB = 30^o. Gọi điểm N là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính:

a) Đoạn thẳng AN

b) Cạnh AC

Gợi ý: Kẻ BK vuông góc với AC.

*Lời giải:

- Ta kẻ BK ⊥ AC (K ∈ AC) như hình vẽ:

- Trong tam giác vuông BKC có:

 ∠KBC = 90^o – 30^o = 60^o

⇒ ∠KBA = 60^o – 38^o = 22^o

- Lại có, BC = 11 (cm), xét tam giác vuông KBC vuông tại K, ta có:

 BK = BC.sinC = BC.sin(30⁰) = 11.(1/2) = 5,5 (cm)

- Xét tam giác ABK vuông tại K có: 

- Xét tam giác ABN vuông tại N có:

b) Xét tam giác ANC vuông tại N có:

* Ví dụ 6 (Bài 31 trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Trong hình 33, AC = 8cm, AD = 9,6 cm, ∠ABC = 90^o, ∠ACB = 54^o và ∠ACD = 74^o.

Hãy tính:  a) AB      b) ∠ADC* Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có:

 AB = AC.sinC = 8.sin54^o = 6,47 (cm)

b) Kẻ AH vuông góc với CD tại H

- Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có:

 AH = AC . sinACH = 8.sin74^o = 7,69 (cm)

- Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có:

* Ví dụ 7 (Bài 32 trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 70^o. Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét)

* Lời giải:

- Kí hiệu như hình vẽ, trong đó:

AH là chiều rộng của khúc sông (cũng chính là đường đi của thuyền khi không có nước chảy).

AB là đoạn đường đi của chiếc thuyền (do nước chảy nên thuyền bị lệch).

Theo đề bài: v = 2km/h ; t = 5 phút = 1/12 h

Suy ra quãng đường thuyền đi trong 5 phút là:

- Xét tam giác AHB vuông tại H, có  nên:

- Vậy chiều rộng của khúc sông xấp xỉ bằng 156,6(m).