Hệ thức về Cạnh và Góc trong tam giác vuông, Bài tập vận dụng - Toán lớp 9

1. Các hệ thức liên hệ giữa góc và cạnh trong tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông), ta có thể tìm được các yếu tố còn lại bằng các hệ thức sau:

Công thức tổng quát:

• Cạnh góc vuông = Cạnh huyền × sin(góc đối) = Cạnh huyền × cos(góc kề)

• Cạnh góc vuông = Cạnh góc vuông kia × tan(góc đối) = Cạnh góc vuông kia × cot(góc kề)

Hệ thức cụ thể (với tam giác vuông có cạnh $a, b, c$ và góc $B, C$):

• $b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C$

• $b = c \cdot \tan B = c \cdot \cot C$

• $c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B$

• $c = b \cdot \tan C = b \cdot \cot B$

Lưu ý: Để ghi nhớ dễ dàng, hãy quy ước cạnh đối diện với góc $A$ là $a$, góc $B$ là $b$, và góc $C$ là $c$.

2. Bài tập vận dụng hệ thức cạnh và góc

Ví dụ 1: Tính chiều cao tòa tháp

Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng $34^\circ$ và bóng của một tháp trên mặt đất dài $86m$. Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).

Lời giải:

• Kí hiệu đỉnh như hình vẽ:

• Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông ABC, ta có:

  $AC = AB \cdot \tan B = 86 \cdot \tan(34^\circ) \approx 58 \text{ (m)}$

• Vậy chiều cao tòa tháp là $58m$.

Ví dụ 2: Giải tam giác vuông ABC

Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng:

a) $b = 10cm; \widehat{C} = 30^\circ$

b) $c = 10cm; \widehat{C} = 45^\circ$

c) $a = 10cm; \widehat{B} = 35^\circ$

d) $c = 21cm; b = 18cm$

Lời giải:

(Lưu ý: $\Delta ABC$ vuông tại A thì $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$)

a) Ta có: $\widehat{B} = 90^\circ - \widehat{C} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

• Lại có: $c = b \cdot \tan C = 10 \cdot \tan(30^\circ) \approx 5,77 \text{ (cm)}$.

• Suy ra: $a = \frac{b}{\sin B} = \frac{10}{\sin 60^\circ} \approx 11,55 \text{ (cm)}$.

b) Ta có: $\widehat{B} = 90^\circ - \widehat{C} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

• Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại A, nên $b = c = 10 \text{ (cm)}$.

• Suy ra: $a = \frac{b}{\sin B} = \frac{10}{\sin 45^\circ} \approx 14,14 \text{ (cm)}$.

c) Ta có:

• $b = a \cdot \sin B = 20 \cdot \sin 35^\circ \approx 11,47 \text{ (cm)}$.

• $c = a \cdot \sin C = 20 \cdot \sin 55^\circ \approx 16,38 \text{ (cm)}$.

d) Ta có:

• $\tan B = \frac{b}{c} = \frac{18}{21} \Rightarrow \widehat{B} \approx 41^\circ$.

• $\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ$.

• $a = \frac{b}{\sin B} = \frac{18}{\sin 41^\circ} \approx 27,44 \text{ (cm)}$.

> Lưu ý: Để dễ vận dụng các công thức, các em nên sử dụng các kí hiệu cạnh là a, b, c (thay vì BC, AC, AB) theo công thức đã cho và cũng đồng bộ với đề bài.

- Để dễ nhớ công thức các em để ý: cạnh đối diện với góc A thì cạnh là a, góc B thì cạnh là b và góc C thì cạnh là c.

Ví dụ 3: Tính góc tạo bởi tia sáng mặt trời

Một cột đèn cao $7m$ có bóng trên mặt đất dài $4m$. Tính góc $\alpha$ mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

Lời giải:

• Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:

  $\tan \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{7}{4} \approx 1,75 \Rightarrow \alpha \approx 60^\circ 15'$.

Ví dụ 4: Tính độ lệch của đò qua sông

Khúc sông rộng khoảng $250m$. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng $320m$ mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc $\alpha$ bằng bao nhiêu độ?

Lời giải:

• Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:

  $\cos \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{250}{320} \approx 0,7813 \Rightarrow \alpha \approx 38^\circ 37'$.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC

BC = $11cm, \widehat{ABC} = 38^\circ, \widehat{ACB} = 30^\circ$. Kẻ $AN \perp BC$. Tính $AN$ và $AC$.

Lời giải:

• Kẻ $BK \perp AC$. Trong tam giác vuông $BKC$ có: $\widehat{KBC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

  

• Suy ra $\widehat{KBA} = 60^\circ - 38^\circ = 22^\circ$.

• Trong $\Delta KBC$ vuông tại K: $BK = BC \cdot \sin C = 11 \cdot \sin 30^\circ = 5,5 \text{ (cm)}$.

• Trong $\Delta ABK$ vuông tại K: $AB = \frac{BK}{\cos 22^\circ} \approx 5,93 \text{ (cm)}$.

• Trong $\Delta ABN$ vuông tại N: $AN = AB \cdot \sin 38^\circ \approx 3,65 \text{ (cm)}$.

• Trong $\Delta ANC$ vuông tại N: $AC = \frac{AN}{\sin 30^\circ} \approx 7,3 \text{ (cm)}$.

Ví dụ 6: Bài toán hình học phức hợp

Cho $AC = 8cm, AD = 9,6cm, \widehat{B} = 90^\circ, \widehat{ACB} = 54^\circ, \widehat{ACD} = 74^\circ$. Tính $AB$ và $\widehat{ADC}$.

Lời giải:

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại B: $AB = AC \cdot \sin C = 8 \cdot \sin 54^\circ \approx 6,47 \text{ (cm)}$.

b) Kẻ $AH \perp CD$ tại H.

• Xét $\Delta ACH$ vuông tại H: $AH = AC \cdot \sin 74^\circ = 8 \cdot \sin 74^\circ \approx 7,69 \text{ (cm)}$.

• Xét $\Delta AHD$ vuông tại H: $\sin D = \frac{AH}{AD} \approx \frac{7,69}{9,6} \approx 0,801 \Rightarrow \widehat{D} \approx 53^\circ$.

Ví dụ 7: Bài toán vận tốc thuyền

Thuyền vận tốc $2km/h$, đi mất 5 phút, tạo với bờ góc $70^\circ$. Tính chiều rộng khúc sông.

Lời giải:

- Kí hiệu như hình vẽ:

Lời giải:

• $t = 5 \text{ phút} = \frac{1}{12} \text{ giờ}$.

• Quãng đường thuyền đi: $AB = v \cdot t = 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{6} \text{ (km)}$.

• Chiều rộng khúc sông: $AH = AB \cdot \sin 70^\circ = \frac{1}{6} \cdot \sin 70^\circ \approx 0,1566 \text{ (km)} = 156,6 \text{ (m)}$.