Cách giải phương trình bậc 2 chứa ẩn ở mẫu Toán 9

I. Quy trình 4 bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải một phương trình dạng này một cách bài bản, các em cần tuân thủ đúng trình tự sau:

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)

  Cho tất cả các mẫu thức của phương trình khác 0. Đây là bước quan trọng nhất để tránh "nghiệm ngoại lai".

• Bước 2: Quy đồng và khử mẫu

  Tìm mẫu thức chung, quy đồng hai vế và khử mẫu để đưa về dạng phương trình bậc nhất hoặc bậc hai quen thuộc.

• Bước 3: Giải phương trình

  Giải phương trình vừa nhận được bằng các phương pháp như phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm ($\Delta$).

• Bước 4: Đối chiếu và kết luận

  Kiểm tra các nghiệm vừa tìm được xem có thỏa mãn ĐKXĐ ban đầu hay không, sau đó mới kết luận tập nghiệm.

II. Các ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Giải các phương trình: $\frac{(x+3)(x-3)}{3} + 2 = x(1-x)$

• ĐKXĐ: Không có mẫu chứa ẩn (Mẫu là hằng số $3$).

• Giải:

  $$\frac{x^2 - 9 + 6}{3} = x - x^2 \Leftrightarrow x^2 - 3 = 3x - 3x^2 \Leftrightarrow 4x^2 - 3x - 3 = 0$$

• Tính $\Delta$: $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 9 + 48 = 57 > 0$

• Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{3+\sqrt{57}}{8}; x_2 = \frac{3-\sqrt{57}}{8}$

Ví dụ 2: Giải các phương trình: $\frac{x+2}{x-5} + 3 = \frac{6}{2-x}$

• ĐKXĐ: $x \ne 5$ và $x \ne 2$.

• Giải: Quy đồng và khử mẫu:

  $$(x+2)(2-x) + 3(2-x)(x-5) = 6(x-5)$$
  $$-x^2 + 4 + 3(-x^2 + 7x - 10) = 6x - 30 \Leftrightarrow -4x^2 + 15x + 4 = 0$$

• Kết luận: $\Delta = 15^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 4 = 289 > 0$. Nghiệm: $x_1 = -\frac{1}{4}$ (thỏa mãn); $x_2 = 4$ (thỏa mãn). Vậy $S = \{-\frac{1}{4}; 4\}$

Ví dụ 3: Giải các phương trình:  $\frac{4}{x+1} = \frac{-x^2 - x + 2}{(x+1)(x+2)}$

• ĐKXĐ: $x \ne -1; x \ne -2$.

• Giải:

  $$4(x+2) = -x^2 - x + 2 \Leftrightarrow x^2 + 5x + 6 = 0$$

• Kết luận: Nghiệm $x_1 = -2$ (loại do không thỏa ĐKXĐ); $x_2 = -3$ (thỏa mãn). Vậy $S = \{-3\}$

III. Bài tập tự luyện

Để nắm vững phương pháp, các em hãy thử sức với các bài tập sau:

• Bài tập 1: Giải phương trình $\frac{2x}{x+1} = \frac{x^2-x+8}{(x+1)(x-4)}$

• Bài tập 2: Giải phương trình $\frac{12}{x-1} - \frac{8}{x+1} = 1$

• Bài tập 3: Giải phương trình $\frac{2x}{x-2} - \frac{x}{x+4} = \frac{8x+8}{x^2+2x-8}$

IV. Lưu ý quan trọng

• Luôn luôn kiểm tra ĐKXĐ ở bước cuối cùng. Nhiều bạn làm đúng các bước biến đổi nhưng lại quên bước đối chiếu, dẫn đến việc lấy cả những nghiệm làm mẫu thức bằng 0, đây là lỗi rất đáng tiếc.

• Khi nhân biểu thức ở tử số, hãy chú ý đến dấu của các hệ số để tránh sai sót.