Bài 5.8 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết, lập luận chặt chẽ từng câu giúp các em học sinh đạt điểm số tối đa.

I. Đề bài tập 5.8 (SGK Toán 10 - Trang 82)

Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính các giá trị của số đặc trưng đó. 

• a)Số mặt trăng đã biết của các hành tinh: $0;\quad 0;\quad 1;\quad 2;\quad 63;\quad 13;\quad 27;\quad 34$. 

• b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá: $32;\quad 24;\quad 20;\quad 14;\quad 23$.

• c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: $60;\quad 72;\quad 63;\quad 83;\quad 68;\quad 74;\quad 90;\quad 86;\quad 74;\quad 80$.

• d) Các sai số trong một phép đo: $10;\quad 15;\quad 18;\quad 15;\quad 14;\quad 13;\quad 42;\quad 15;\quad 12;\quad 14;\quad 42$.

II. Phương pháp và tiêu chí lựa chọn số đặc trưng

Để chọn được số đặc trưng đại diện hoàn hảo nhất cho xu thế trung tâm của một mẫu dữ liệu, các em hãy bám sát 3 quy tắc vàng sau:

1. Chọn Số trung bình ($\bar{x}$): Khi mẫu số liệu gồm các giá trị đồng đều, tập trung và không có giá trị nào quá lớn hoặc quá nhỏ so với phần còn lại (không chứa giá trị dị biệt - outliers).

2. Chọn Số trung vị ($M_e$): Khi mẫu số liệu xuất hiện các giá trị dị biệt (quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các số liệu khác). Lúc này, số trung bình sẽ bị kéo lệch đi và không còn tính đại diện, chỉ có trung vị mới phản ánh đúng mức độ trung tâm của tập hợp.

3. Chọn Mốt ($M_o$): Khi mẫu số liệu nhận các giá trị không là số (dữ liệu định tính) hoặc khi người ta quan tâm đến giá trị xuất hiện với tần suất nhiều nhất (xu hướng phổ biến, thị hiếu tiêu dùng, sai số lặp lại nhiều nhất).

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.8

a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh

• Biện luận chọn số đặc trưng: Nhìn vào mẫu số liệu: $0;\quad 0;\quad 1;\quad 2;\quad 63;\quad 13;\quad 27;\quad 34$. Ta nhận thấy có sự chênh lệch cực kỳ lớn giữa số lượng mặt trăng của các hành tinh (ví dụ giá trị $0, 1, 2$ quá nhỏ so với các giá trị $27, 34, 63$). Vì mẫu số liệu có các giá trị dị biệt nên số trung bình sẽ không có tính đại diện. Đại lượng phù hợp nhất ở đây phải là Số trung vị ($M_e$).

• Tính toán giá trị Số trung vị:

  • Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm (từ nhỏ đến lớn):

    $$0;\quad 0;\quad 1;\quad 2;\quad 13;\quad 27;\quad 34;\quad 63$$

  • Bước 2: Vì mẫu có $n = 8$ phần tử (số chẵn) nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa (vị trí thứ 4 và thứ 5):

    $$M_e = \frac{2 + 13}{2} = 7,5$$

Kết luận câu a: Số đặc trưng phù hợp nhất là Số trung vị, giá trị tìm được là $7,5$.

b) Số đường chuyền thành công của các cầu thủ bóng đá

• Biện luận chọn số đặc trưng:

  Mẫu số liệu gồm: $32;\quad 24;\quad 20;\quad 14;\quad 23$. Ta nhận thấy các số liệu này khá đồng đều, nằm sát gần nhau trong khoảng từ $14$ đến $32$ và không có giá trị nào đột biến hay quá dị biệt. Do đó, đại lượng đo xu thế trung tâm lý tưởng nhất chính là Số trung bình ($\bar{x}$).

• Tính toán giá trị Số trung bình:

  $$\bar{x} = \frac{32 + 24 + 20 + 14 + 23}{5} = \frac{113}{5} = 22,6$$

Kết luận câu b: Số đặc trưng phù hợp nhất là Số trung bình, giá trị tìm được là $22,6$ (đường chuyền).

c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh

• Biện luận chọn số đặc trưng:

  Mẫu số liệu gồm $n = 10$ phần tử: $60;\quad 72;\quad 63;\quad 83;\quad 68;\quad 74;\quad 90;\quad 86;\quad 74;\quad 80$. Tập dữ liệu này phản ánh chỉ số IQ phân bố khá tập trung và ổn định xoay quanh ngưỡng từ $60$ đến $90$, không có học sinh nào có chỉ số IQ quá thấp hay quá cao đột biến (không có outliers). Vì vậy, ta chọn Số trung bình ($\bar{x}$) làm số đặc trưng đại diện.

• Tính toán giá trị Số trung bình:

  $$\bar{x} = \frac{60 + 72 + 63 + 83 + 68 + 74 + 90 + 86 + 74 + 80}{10} = \frac{750}{10} = 75$$

Kết luận câu c: Số đặc trưng phù hợp nhất là Số trung bình, chỉ số IQ trung bình của nhóm học sinh là $75$.

d) Các sai số trong một phép đo

• Biện luận chọn số đặc trưng:

  Mẫu số liệu gồm: $10;\quad 15;\quad 18;\quad 15;\quad 14;\quad 13;\quad 42;\quad 15;\quad 12;\quad 14;\quad 42$.

  Trong đo đạc vật lý và kỹ thuật, khi phân tích các sai số của phép đo, đại lượng được quan tâm hàng đầu là giá trị sai số xuất hiện lặp đi lặp lại nhiều nhất để tìm ra nguyên nhân gây nhiễu hệ thống thiết bị. Đồng thời mẫu có giá trị $42$ là sai số đột biến (giá trị dị biệt). Do đó, số đặc trưng đo xu thế trung tâm phản ánh tốt nhất mục tiêu nghiên cứu ở đây chính là Mốt ($M_o$).

• Tính toán giá trị Mốt:

  Ta tiến hành lập bảng thống kê tần suất xuất hiện của các giá trị sai số:

  • Giá trị $10, 12, 13, 18$ xuất hiện 1 lần.

  • Giá trị $14, 42$ xuất hiện 2 lần.

  • Giá trị $15$ xuất hiện 3 lần.

  Vì giá trị $15$ có tần số xuất hiện lớn nhất (3 lần) nên mốt của mẫu số liệu là:

  $$M_o = 15$$

Kết luận câu d: Số đặc trưng phù hợp nhất là Mốt, giá trị tìm được là $15$.

IV. Mẹo quét nhanh đáp án bài toán biện luận số đặc trưng (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn có thể xử lý cực nhanh các câu hỏi trắc nghiệm định tính lý thuyết dạng này chỉ trong vòng 3 giây, các em hãy nhớ từ khóa "thần chú" sau:

• Từ khóa "Hành tinh / Thu nhập": Mẫu số liệu liên quan đến thiên văn (như số mặt trăng, khoảng cách các sao) hoặc thu nhập của một nhóm người thường xuyên có khoảng cách giàu nghèo cực kỳ lớn $\rightarrow$ Auto chọn Trung vị.

• Từ khóa "Đo đạc / Sai số / Kích cỡ giày": Khi đề bài nhắc đến lỗi sai số kỹ thuật hoặc size quần áo, giày dép bán chạy nhất của một cửa hàng $\rightarrow$ Auto chọn Mốt.

• Từ khóa "Điểm số / Chiều cao / IQ đồng đều": Các mẫu số liệu đo chỉ số con người thông thường, nằm trong một khung biên độ hẹp $\rightarrow$ Auto chọn Số trung bình.

V. Kết luận

Bài tập 5.8 là một bài toán mang tính thực tiễn và tư duy phân tích thống kê rất cao. Việc hiểu rõ bản chất của từng số đặc trưng đo xu thế trung tâm không chỉ giúp học sinh ghi điểm tuyệt đối trong các kỳ thi Toán 10 mà còn là nền tảng quan trọng cho việc phân tích số liệu khoa học ở các cấp học cao hơn.