Bài 4.39 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết, lập luận chặt chẽ giúp các em học sinh dễ dàng nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 4.39 (SGK Toán 10 - Trang 72)

Trên một con sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng $\text{S}15^\circ\text{E}$ (Nam chếch Đông $15^\circ$) với vận tốc có độ lớn bằng $20\text{km/h}$. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng nước trên sông chảy về hướng chính Đông với vận tốc có độ lớn bằng $3\text{km/h}$.

II. Định lý vật lý và công thức toán học áp dụng

1. Công thức cộng vận tốc vectơ (Tĩnh học): Vận tốc chuyển động thực tế của ca nô đối với bờ sông ($\vec{v}_{cn}$) là hợp lực của hai thành phần: Vận tốc riêng của ca nô đối với dòng nước ($\vec{v}_r$) và vận tốc chảy của dòng nước đối với bờ sông ($\vec{v}_n$).

   $$\vec{v}_{cn} = \vec{v}_r + \vec{v}_n \Rightarrow \vec{v}_r = \vec{v}_{cn} - \vec{v}_n = \vec{v}_{cn} + (-\vec{v}_n)$$

2. Định lý Cosin trong tam giác: Cho tam giác $ABC$ bất kỳ, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của chúng nhân với cosin của góc xen giữa:

   $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$$

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.39

Để xử lý bài toán, ta mô hình hóa hướng chuyển động và độ lớn vận tốc của các vật thể lên mặt phẳng tọa độ hình học như sau:

Theo sơ đồ phân tích lực chuyển động, ta quy ước:

• Vectơ $\overrightarrow{AB}$ biểu diễn vận tốc dòng nước chảy về hướng chính Đông: $|\vec{v}_n| = AB = 3\text{km/h}$.

• Vectơ $\overrightarrow{AD}$ biểu diễn vận tốc thực tế của ca nô dịch chuyển theo hướng $\text{S}15^\circ\text{E}$: $|\vec{v}_{cn}| = AD = 20\text{km/h}$.

• Góc $\widehat{BAD} = 15^\circ$ (do hướng chính Đông vuông góc với hướng chính Nam, và tàu lệch góc $15^\circ$ từ hướng Nam dịch về hướng Đông).

• Vectơ $\overrightarrow{AC}$ biểu diễn vận tốc riêng của ca nô: $|\vec{v}_r| = AC$.

• Bước 1: Thiết lập đẳng thức tịnh tiến hình bình hành

  Theo công thức cộng vận tốc vectơ, ta có hệ thức:

  $$\vec{v}_{cn} = \vec{v}_n + \vec{v}_r \Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$

  Theo quy tắc hình bình hành, nếu $\overrightarrow{AD}$ là đường chéo tổng hợp của hai cạnh thành phần $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ thì tứ giác $ABDC$ tạo thành một hình bình hành.

  Từ tính chất các cạnh đối của hình bình hành bằng nhau, ta suy ra:

  $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \Rightarrow AC = BD = |\vec{v}_r|$$

• Bước 2: Áp dụng định lý Cosin vào tam giác bổ trợ $\Delta ABD$

  Xét tam giác $\Delta ABD$ có cạnh $AB = 3$, cạnh $AD = 20$ và góc xen giữa $\widehat{BAD} = 15^\circ$. Áp dụng định lý cosin để tính độ dài cạnh đối diện $BD$, ta có phương trình:

  $$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos\widehat{BAD}$$

  Tiến hành thế các giá trị định lượng tương ứng vào công thức:

  $$BD^2 = 3^2 + 20^2 - 2 \cdot 3 \cdot 20 \cdot \cos 15^\circ$$
  $$BD^2 = 9 + 400 - 120 \cdot \cos 15^\circ$$

  Sử dụng máy tính cầm tay bấm biểu thức số học trên:

  $$BD^2 \approx 409 - 120 \cdot 0,9659 \approx 409 - 115,91 = 293,09$$

• Bước 3: Khai căn tìm độ lớn vận tốc thực tế

  Ta lấy căn bậc hai số học ở hai vế để tìm độ dài đoạn thẳng $BD$:

  $$BD = \sqrt{293,09} \approx 17,12\text{ km/h}$$

  Mà ta đã chứng minh được độ lớn vận tốc riêng của ca nô $|\vec{v}_r| = AC = BD$.

Kết luận cuối cùng: Vận tốc riêng của ca nô đối với dòng nước chảy là $17,12\text{ km/h}$.

IV. Nhận xét mở rộng giúp học sinh tránh sai lầm về góc

Khi làm bài toán này, rất nhiều học sinh mắc sai lầm ở bước xác định số đo góc $\widehat{BAD}$ do chưa hiểu rõ cách đọc la bàn hướng địa lý:

• Lỗi sai: Học sinh đọc hướng $\text{S}15^\circ\text{E}$ rồi mặc định lấy góc $15^\circ$ đó áp vào tam giác, hoặc lấy $90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$ vì nghĩ góc lệch so với phương ngang của trục Đông.

• Phân tích đúng: Hướng $\text{S}15^\circ\text{E}$ nghĩa là xuất phát từ kim chỉ hướng Nam (South), ta quay một góc $15^\circ$ lệch về phía mặt mặt trời mọc là hướng Đông (East). Trên hình vẽ minh họa, góc vuông tạo bởi trục tọa độ Đông - Nam ban đầu đã bị góc di chuyển chiếm mất một phần, do đó góc góc hình học tạo bởi hướng Đông $\overrightarrow{AB}$ và hướng tàu đi $\overrightarrow{AD}$ chính là góc nhọn $15^\circ$ đề bài cho. Các em cần vẽ nháp hệ trục chữ thập Đông - Tây - Nam - Bắc ra lề vở để nhìn góc chính xác nhất nhé!

V. Kết luận

Bài tập 4.39 là một bài toán vận dụng thực tế vô cùng xuất sắc, là cầu nối trực quan giữa tư duy vectơ của toán học và bài toán phân tích lực của vật lý lớp 10. Việc làm chủ định lý cosin và quy tắc dựng hình bình hành dịch chuyển sẽ giúp các em học sinh dễ dàng đạt điểm tối đa ở các câu hỏi tự luận nâng cao.