Giải bài 3.17 trang 44 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b² + c² > a²;

b) Nếu góc A tù thì b² + c² < a²;

c) Nếu góc A vuông thì b² + c² = a².

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh các mối liên hệ trên, chúng ta sẽ xuất phát từ định lý cosin cho tam giác ABC: a²=b²+c²−2bc⋅cosA. Mối quan hệ giữa a² và b²+c² sẽ phụ thuộc vào giá trị của $2bc\cdot \cos A$. Vì $b$ và $c$ là độ dài các cạnh nên luôn dương, do đó, dấu của tích $2bc\cdot \cos A$ sẽ phụ thuộc hoàn toàn vào dấu của $\cos A$.

Ta có các trường hợp sau:

• Nếu góc A nhọn (0^∘<A<90^∘): $\cos A$ sẽ có giá trị dương.

• Nếu góc A tù (90^∘<A<180^∘): $\cos A$ sẽ có giá trị âm.

• Nếu góc A vuông (A=90^∘): $\cos A$ bằng 0.

Dựa vào các trường hợp này, ta sẽ so sánh a² với b²+c² để đi đến kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét ΔABC, có:

Theo định lí cos, ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

a) Nếu góc A nhọn thì cosA > 0 ⇒ 2bccosA > 0 ⇒ - 2bccosA < 0

Vì vậy: a² = b² + c² – 2bc.cosA < b² + c²

Vậy b² + c² > a²

b) Nếu góc A tù thì cosA > 0 ⇒ 2bccosA < 0 ⇒ - 2bccosA > 0

Vì vậy: a² = b² + c² – 2bc.cosA > b² + c²

Vậy b² + c² < a².

c) Nếu góc A vuông thì cosA = 0 ⇒ 2bccosA = 0

Vì vậy: a² = b² + c² – 2bc.cosA = b² + c²

Vậy b² + c² = a².