Bài 6.19 thuộc trang 24 của sách giáo khoa Toán 10 tập 2, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống. Đây là một bài toán thực tế giúp các em ôn tập và vận dụng kiến thức về bất phương trình bậc hai để giải quyết một bài toán về diện tích hình học.
Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Xác định điều kiện của biến số x.
Tính diện tích của từng hình tròn lớn và hai hình tròn nhỏ theo x.
Viết biểu thức cho diện tích S(x) theo x.
Thiết lập và giải bất phương trình theo yêu cầu của đề bài.
Kết hợp điều kiện xác định để đưa ra kết quả cuối cùng.
Vì M di chuyển trên đoạn AB và AM = x, nên x
phải lớn hơn 0. Vì AM < AB, nên x
phải nhỏ hơn 4. Vậy, điều kiện xác định của x là .
Hình tròn lớn: có đường kính AB = 4 nên bán kính là .
Diện tích hình tròn lớn là: .
Hai hình tròn nhỏ:
Đường tròn nhỏ thứ nhất có đường kính nên bán kính là
.
Diện tích của nó là:
Ta có nên
. Đường tròn nhỏ thứ hai có đường kính
nên bán kính là
.
Diện tích của nó là:
Tổng diện tích hai hình tròn nhỏ là:
Diện tích S(x) là diện tích hình tròn lớn trừ đi tổng diện tích hai hình tròn nhỏ:
Theo đề bài, S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ, tức là:
Nhân cả hai vế với 4 (vì 4 > 0
), ta có:
Xét tam thức .
Ta tính biệt thức của phương trình
:
Tam thức có hai nghiệm phân biệt:
Vì hệ số ,
khi
nằm ngoài khoảng hai nghiệm:
Hoặc lập bảng xét dấu như sau:
Kết hợp với điều kiện ban đầu , ta có:
và
.
Vậy, các giá trị của x
thỏa mãn đề bài là:
Bài giải này đã giúp các em ôn tập cách áp dụng bất phương trình bậc hai vào việc giải quyết một bài toán hình học phức tạp. Nắm vững cách tính diện tích, thiết lập bất phương trình và xét dấu tam thức bậc hai là chìa khóa để giải quyết thành công bài toán này. Chúc các em học tốt!
• Xem thêm Giải Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức