Bài 8.8 trang 70 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Bài toán chọn tập hợp số

Bài 8.8 trang 70 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100?

Phân tích bài toán

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần làm rõ hai khái niệm quan trọng:

1. Số nguyên dương nhỏ hơn 100: Là các số tự nhiên bắt đầu từ 1 đến 99. Như vậy, chúng ta có tổng cộng 99 số.

2. Chọn một tập hợp: Trong toán học, các phần tử trong một tập hợp không phân biệt thứ tự. Do đó, việc chọn ra một nhóm số từ một tập hợp lớn mà không quan tâm đến thứ tự sắp xếp chính là bài toán về tổ hợp.

Giải bài 8.8 trang 70 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 100 là: $S = \{1; 2; 3; ...; 99\}$.

Số lượng phần tử của tập hợp $S$ là $n = 99$.

1. Cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương

Mỗi cách chọn hai số nguyên dương từ 99 số (không phân biệt thứ tự) là một tổ hợp chập 2 của 99 phần tử.

Công thức tính số tổ hợp:

Áp dụng với $n = 99$ và $k = 2$, ta có số cách chọn là:

2. Cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương

Mỗi cách chọn ba số nguyên dương từ 99 số (không phân biệt thứ tự) là một tổ hợp chập 3 của 99 phần tử.

Áp dụng công thức với $n = 99$ và $k = 3$, ta có số cách chọn là:

Kết luận: * Có 4.851 cách để chọn tập hợp gồm 2 số.

• Có 156.849 cách để chọn tập hợp gồm 3 số.

Tổng kết kiến thức

• Tổ hợp ($C_n^k$): Sử dụng khi đề bài yêu cầu chọn ra một nhóm phần tử mà thứ tự không quan trọng (như chọn một đội, một tập hợp, một nhóm người).

• Số nguyên dương: Luôn lưu ý số nguyên dương bắt đầu từ 1. Nếu đề bài nói "số tự nhiên nhỏ hơn 100", số lượng phần tử sẽ là 100 (tính cả số 0).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn số lượng phần tử: Nhiều bạn cho rằng có 100 số hoặc chỉ có 98 số. Hãy nhớ: từ 1 đến 99 có đúng $99 - 1 + 1 = 99$ số.

• Nhầm với chỉnh hợp ($A_n^k$): Nếu bạn dùng chỉnh hợp, kết quả sẽ lớn hơn rất nhiều vì bạn đang tính cả thứ tự các số (ví dụ bộ {1, 2} và {2, 1} bị tính là 2 cách, trong khi tập hợp thì chỉ là 1).

• Lỗi bấm máy tính: Nhập nhầm phím $nPr$ (Chỉnh hợp) thay vì $nCr$ (Tổ hợp).

Mẹo giải nhanh

Để tính nhanh trên máy tính Casio:

1. Tính $C_{99}^2$: Bấm số 99 $\rightarrow$ nhấn phím SHIFT $\rightarrow$ nhấn phím ÷ (ký hiệu $nCr$) $\rightarrow$ bấm số 2 $\rightarrow$ nhấn phím =.

2. Tính $C_{99}^3$: Làm tương tự bằng cách thay số 2 bằng số 3.

3. Dấu hiệu nhận biết: Cứ thấy từ khóa "tập hợp" hoặc "chọn ra một nhóm" thì hãy nghĩ ngay đến tổ hợp $C$.