Bài 8.16 trang 75 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Bài toán tăng trưởng dân số

Bài 8.16 trang 75 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Số dân của một tình ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r%.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là $P=800\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^5$ (nghìn người).

b) Với r = 1,5, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của (1 + 0,015)⁵, hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

Phân tích bài toán

Đây là một bài toán ứng dụng thực tế của Nhị thức Newton vào mô hình lãi kép (tăng trưởng lũy tiến).

1. Mô hình tăng trưởng: Mỗi năm dân số tăng thêm một lượng bằng $r\%$ dân số của năm trước đó. Điều này tạo ra một dãy số nhân.

2. Xấp xỉ Newton: Khi tỉ lệ tăng trưởng $r$ nhỏ, việc sử dụng hai số hạng đầu của khai triển nhị thức $(1+x)^n \approx 1 + nx$ giúp chúng ta tính nhanh kết quả mà không cần máy tính phức tạp.

Giải bài 8.16 trang 75 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Thiết lập công thức tính dân số

Để tính số dân năm sau, ta lấy số dân năm trước cộng với số dân tăng thêm (bằng $r\%$ của năm trước).

• Số dân sau 1 năm ($P_1$):

  $$P_1 = 800 + 800 \cdot r\% = 800(1 + r\%) = 800\left( 1 + \frac{r}{100} \right)^1 \text{ (nghìn người)}$$

• Số dân sau 2 năm ($P_2$):

  $$P_2 = P_1 + P_1 \cdot r\% = P_1(1 + r\%) = 800\left( 1 + \frac{r}{100} \right) \cdot \left( 1 + \frac{r}{100} \right)$$
  $$P_2 = 800\left( 1 + \frac{r}{100} \right)^2 \text{ (nghìn người)}$$

• Số dân sau 5 năm ($P_5$):

  Từ quy luật trên, ta suy ra công thức tính số dân sau 5 năm là:

  $$P = 800\left( 1 + \frac{r}{100} \right)^5 \text{ (nghìn người)}$$

b) Ước tính số dân sau 5 năm với $r = 1,5$

Với $r = 1,5$, ta có tỉ lệ tăng trưởng là $\frac{1,5}{100} = 0,015$.

Công thức trở thành: $P_5 = 800(1 + 0,015)^5$.

Sử dụng khai triển nhị thức Newton cho $(1 + 0,015)^5$:

Dùng hai số hạng đầu tiên để ước tính:

Ước tính số dân sau 5 năm:

Kết luận: Sau 5 năm, dân số của tỉnh đó xấp xỉ khoảng 860 nghìn người.

Tổng kết kiến thức

• Công thức tăng trưởng tổng quát: $P_n = P_0(1 + r)^n$. Trong đó $P_0$ là dân số ban đầu, $r$ là tỉ lệ tăng trưởng, $n$ là số năm.

• Quy tắc xấp xỉ: $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ khi $x$ rất nhỏ. Đây là công cụ đắc lực trong toán tài chính và dân số học.

• Đơn vị tính: Luôn lưu ý đơn vị (nghìn người) để đưa ra kết quả cuối cùng chính xác nhất.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Tính toán sai số thập phân: Khi đổi $1,5\%$ sang số thập phân, nhiều bạn nhầm thành $0,15$ thay vì $0,015$. Điều này dẫn đến kết quả sai lệch rất lớn.

• Quên nhân dân số gốc: Chỉ tính ra hệ số $1,075$ mà quên không nhân với $800$ để ra số dân thực tế.

• Nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và nhân: Coi dân số tăng đều hàng năm một lượng cố định (quy tắc cộng) thay vì tăng theo tỉ lệ (quy tắc nhân/lãi kép).

Mẹo giải nhanh

1. Kiểm tra nhanh: Bạn có thể dùng máy tính bấm $800 \times (1.015)^5$ để xem kết quả chính xác là $861,8$ nghìn người. Giá trị ước tính $860$ nghìn người là một con số rất gần và chấp nhận được trong dự báo.

2. Quy tắc 70 (Mở rộng): Để dân số gấp đôi với tỉ lệ $1,5\%$, sẽ mất khoảng $70 / 1,5 \approx 46$ năm. Những con số này giúp bạn có cái nhìn thực tế hơn về bài toán.

3. Ưu tiên hàng đầu: Luôn viết công thức tổng quát trước khi thay số để tránh sai sót hệ thống.