Bài 8.7 trang 70 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau

Bài 8.7 trang 70 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Phân tích bài toán

Đây là bài toán điển hình về quy tắc đếm và chỉnh hợp. Điểm mấu chốt học sinh cần lưu ý:

1. Chữ số hàng trăm: Luôn luôn phải khác $0$.

2. Tính chất "khác nhau": Các chữ số trong một số không được trùng lặp.

Giải bài 8.7 trang 70 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Để giải bài toán này, chúng ta có thể áp dụng một trong hai cách tiếp cận sau đây:

Cách 1: Sử dụng quy tắc nhân và chỉnh hợp (Trực tiếp)

Để lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau $\overline{abc}$ từ tập $\{0, 1, 2, 3, 4\}$, ta thực hiện theo các công đoạn:

• Công đoạn 1: Chọn chữ số hàng trăm ($a$)

  Chữ số $a$ được chọn từ tập $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ nhưng phải thỏa mãn điều kiện $a \neq 0$.

  Do đó, có 4 cách chọn ($a$ có thể là $1, 2, 3$ hoặc $4$).

• Công đoạn 2: Chọn chữ số hàng chục ($b$) và hàng đơn vị ($c$)

  Sau khi đã chọn $a$, ta còn lại 4 chữ số (bao gồm cả số $0$). Vì các chữ số phải khác nhau, nên việc chọn $b$ và $c$ là việc chọn 2 chữ số từ 4 chữ số còn lại và có sắp xếp.

  Số cách chọn này chính là số chỉnh hợp chập 2 của 4:

  $$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 4 \times 3 = 12 \text{ (cách)}$$

Theo quy tắc nhân, tổng số các số tự nhiên lập được là:

Cách 2: Sử dụng phương pháp loại trừ (Gián tiếp)

• Bước 1: Tính tất cả các bộ 3 chữ số khác nhau

  Nếu không xét điều kiện chữ số đầu tiên khác $0$, số cách chọn ra 3 chữ số khác nhau từ tập 5 chữ số $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ là số chỉnh hợp chập 3 của 5:

  $$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \text{ (cách)}$$

• Bước 2: Tính các bộ có chữ số 0 đứng đầu

  Các số có dạng $\overline{0bc}$ không được coi là số có 3 chữ số. Để lập bộ này, ta cần chọn 2 chữ số khác nhau cho vị trí $b$ và $c$ từ 4 chữ số còn lại $\{1, 2, 3, 4\}$.

  Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 2 của 4:

  $$A_4^2 = 12 \text{ (cách)}$$

• Bước 3: Hiệu số

  Số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau thỏa mãn đề bài là:

  $$60 - 12 = 48 \text{ (số)}$$

Tổng kết kiến thức

• Chỉnh hợp ($A_n^k$): Dùng khi ta chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử và có quan tâm đến thứ tự của chúng.

• Điều kiện số tự nhiên: Luôn để ý con số $0$ khi nó nằm trong tập hợp cho trước.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên điều kiện hàng trăm khác 0: Dẫn đến kết quả sai là $60$ số.

• Nhầm lẫn với tổ hợp ($C_n^k$): Khi lập số, thứ tự các chữ số thay đổi sẽ tạo ra số mới, vì vậy phải dùng chỉnh hợp chứ không phải tổ hợp.

• Đếm lặp: Sử dụng quy tắc nhân nhưng không trừ đi các chữ số đã chọn ở bước trước.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán lập số có chữ số $0$:

1. Luôn ưu tiên chọn vị trí bị ràng buộc trước (ở đây là hàng trăm).

2. Sử dụng máy tính Casio: Để tính $A_4^2$, bạn bấm 4 $\rightarrow$ SHIFT $\rightarrow$ x (phím $nPr$) $\rightarrow$ 2