Bài 8.14 trang 74 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Khai triển biểu thức chứa căn thức

Bài 8.14 trang 74 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Biểu diễn $\left ( 3+\sqrt{2} \right )^5-\left ( 3-\sqrt{2} \right )^5$ dưới dạng $a+b\sqrt{2}$ với a, b là các số nguyên.

Phân tích bài toán

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton cho lũy thừa bậc 5:

Điểm mấu chốt ở đây là khi thực hiện phép trừ $(3 + \sqrt{2})^5 - (3 - \sqrt{2})^5$:

1. Các số hạng chứa lũy thừa chẵn của $\sqrt{2}$ sẽ có cùng dấu và bị triệt tiêu khi thực hiện phép trừ.

2. Các số hạng chứa lũy thừa lẻ của $\sqrt{2}$ sẽ ngược dấu và được gấp đôi lên.

3. Kết quả cuối cùng sẽ chỉ còn chứa căn thức $\sqrt{2}$.

Giải bài 8.14 trang 74 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Khai triển từng biểu thức theo nhị thức Newton:

Bước 1: Khai triển $(3 + \sqrt{2})^5$

Bước 2: Khai triển $(3 - \sqrt{2})^5$

Bước 3: Thực hiện phép trừ

Khi lấy biểu thức thứ nhất trừ biểu thức thứ hai, các số hạng $3^5$, $10 \cdot 3^3 \cdot 2$ và $5 \cdot 3 \cdot 4$ bị triệt tiêu. Ta còn lại:

Kết luận: Dưới dạng $a + b\sqrt{2}$, biểu thức được viết là $0 + 1178\sqrt{2}$.

Vậy $a = 0$ và $b = 1178$.

Tổng kết kiến thức

• Nhị thức Newton: Giúp khai triển các biểu thức phức tạp mà không cần nhân đa thức thủ công nhiều lần.

• Tính chất đối xứng: Trong khai triển $(x+y)^n$ và $(x-y)^n$, các số hạng chỉ khác nhau về dấu. Điều này giúp rút gọn nhanh các phép toán tổng hoặc hiệu của hai nhị thức liên hợp.

• Biến đổi căn thức: Cần chú ý $(\sqrt{2})^2 = 2$, $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$, $(\sqrt{2})^4 = 4$, $(\sqrt{2})^5 = 4\sqrt{2}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Sai dấu khi khai triển: Đặc biệt là ở biểu thức có dấu trừ $(3 - \sqrt{2})^5$. Các số hạng chứa lũy thừa lẻ của $\sqrt{2}$ phải mang dấu âm.

• Tính sai lũy thừa của căn thức: Nhầm lẫn giữa $(\sqrt{2})^4$ và $(\sqrt{2})^5$.

• Thiếu hệ số 2: Khi thực hiện phép trừ $A - (-A)$, kết quả phải là $2A$, nhiều bạn quên nhân đôi dẫn đến kết quả chỉ bằng một nửa đáp án đúng.

Mẹo giải nhanh

1. Nhận diện quy luật: Với dạng $(x+y)^n - (x-y)^n$, kết quả luôn là $2 \times (\text{tổng các số hạng ở vị trí chẵn trong khai triển})$.

2. Sử dụng máy tính: Bạn có thể bấm trực tiếp biểu thức $(3+\sqrt{2})^5 - (3-\sqrt{2})^5$ trên máy tính để kiểm tra kết quả số cuối cùng. Sau đó lấy số đó chia cho $\sqrt{2}$ để tìm hệ số $b$.

3. Nhớ dãy hệ số: Với mũ 5, dãy hệ số tổ hợp là 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1.