Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong Oxyz - Toán 12 chuyên đề

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng là một trong những dạng toán nền tảng nhưng vô cùng quan trọng trong chuyên đề Hình học tọa độ Oxyz lớp 12. Bài toán này đòi hỏi các em phải nắm vững mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như cách xử lý hệ phương trình đại số.

Bài viết dưới đây, HayHocHoi.Vn sẽ hướng dẫn các em 3 cách giải quyết dạng toán này một cách nhanh chóng, chính xác kèm ví dụ minh họa trực quan.

I. Phương pháp giải toán

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng cắt nhau cắt nhau tạo thành đường thẳng giao tuyến $(d)$:

• $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$ (có VTPT $\overrightarrow{n}_{\alpha} = (A; B; C)$)

• $(\beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0$ (có VTPT $\overrightarrow{n}_{\beta} = (A'; B'; C')$)

Để tìm phương trình đường thẳng giao tuyến $(d)$, các em có thể áp dụng 1 trong 3 cách biến đổi sau:

Cách 1: Xác định 1 điểm và 1 Vectơ chỉ phương (VTCP)

• Bước 1: Tìm tọa độ một điểm $M_0(x_0; y_0; z_0) \in d$ bằng cách chọn một giá trị bất kỳ cho một ẩn (chẳng hạn cho $z = 0$), sau đó giải hệ phương trình hai ẩn còn lại để tìm $x, y$.

• Bước 2: Vì đường thẳng $(d)$ nằm trên cả hai mặt phẳng nên VTCP $\overrightarrow{u}$ của $(d)$ sẽ vuông góc với cả hai VTPT của hai mặt phẳng. Ta tính tích có hướng:

  $$\overrightarrow{u} = [\overrightarrow{n}_{\alpha}, \overrightarrow{n}_{\beta}] = \left( \begin{vmatrix} B & C \\ B' & C' \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} C & A \\ C' & A' \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} A & B \\ A' & B' \end{vmatrix} \right)$$

• Bước 3: Lập phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M_0$ và nhận $\overrightarrow{u}$ làm VTCP.

Cách 2: Xác định tọa độ 2 điểm thuộc đường thẳng

• Bước 1: Tìm tọa độ hai điểm phân biệt $A$ và $B$ thuộc đường thẳng $(d)$ bằng cách giải hệ phương trình của hai mặt phẳng với hai giá trị ẩn tự chọn khác nhau.

• Bước 2: Lập phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua hai điểm $A, B$ (nhận $\overrightarrow{AB}$ làm VTCP).

Cách 3: Phương pháp đặt ẩn phụ (Tham số hóa trực tiếp)

• Bước 1: Đặt một trong ba ẩn bằng biến số $t$ (ví dụ: đặt $z = t$).

• Bước 2: Giải hệ phương trình hai mặt phẳng để tính hai ẩn còn lại theo biến $t$.

• Bước 3: Kết quả thu được chính là phương trình tham số trực tiếp của đường thẳng $(d)$.

II. Các ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Viết phương trình giao tuyến bằng cách tìm 2 điểm

Đề bài: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $(d)$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng $(P): 2x + y - z - 3 = 0$ và $(Q): x + y + z - 1 = 0$.

Lời giải:

Điểm nằm trên giao tuyến $(d)$ phải thỏa mãn hệ phương trình:

• Cho $z = 0$, hệ phương trình trở thành: $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases} \Rightarrow A(2; -1; 0) \in d$.

• Cho $z = 1$, hệ phương trình trở thành: $\begin{cases} 2x + y = 4 \\ x + y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 4 \\ y = -4 \end{cases} \Rightarrow B(4; -4; 1) \in d$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ là: $\overrightarrow{AB} = (4 - 2; -4 - (-1); 1 - 0) = (2; -3; 1)$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(2; -1; 0)$ là:

Ví dụ 2: Tham số hóa giao tuyến với mặt phẳng tọa độ

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng $d$ là giao tuyến của mặt phẳng $(P): y - 2z + 3 = 0$ và mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$.

Lời giải:

Mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$ luôn có phương trình đặc trưng là $x = 0$.

Tọa độ điểm $M(x; y; z) \in d$ tuân theo hệ phương trình tương đương:

Áp dụng cách giải số 3, ta đặt ẩn phụ $z = t \quad (t \in \mathbb{R})$. Khi đó hệ phương trình chuyển thành:

Kết luận: Đây chính là phương trình tham số của đường thẳng giao tuyến $(d)$ cần tìm.

Ví dụ 3: Sử dụng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P): 2x + y + 1 = 0$ và $(Q): x - y + z - 1 = 0$.

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ lần lượt là: $\overrightarrow{n}_P = (2; 1; 0)$ và $\overrightarrow{n}_Q = (1; -1; 1)$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ được xác định thông qua tích có hướng:

Tìm một điểm thuộc đường thẳng $d$ bằng cách cho $x = 0$ vào hệ phương trình mặt phẳng:

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $N(0; -1; 0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}_d = (1; -2; -3)$ có phương trình tham số là: