Cách viết phương trình đường tròn đi qua 1 điểm có tâm I - Toán 10 chuyên đề

Trong bài viết này, HayHocHoi sẽ hướng dẫn các em phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa dễ hiểu nhất.

I. Phương pháp giải bài toán viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A

Để lập phương trình đường tròn $(C)$ khi đã biết tâm $I(a; b)$ và đường tròn đi qua điểm $A(x_A; y_A)$, chúng ta thực hiện theo 2 bước sau:

Bước 1: Tính bán kính $R$ của đường tròn

Vì đường tròn đi qua điểm $A$ nên khoảng cách từ tâm $I$ đến điểm $A$ chính là bán kính $R$.

Ta có: $R = IA$

Hoặc để thuận tiện cho việc viết phương trình, ta tính:

Bước 2: Viết phương trình đường tròn

Sau khi đã có tâm $I(a; b)$ và $R^2$, ta áp dụng công thức phương trình đường tròn dạng chính tắc:

II. Các ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; -3)$ và đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$

Lời giải:

• Bước 1: Tính bán kính $R$.

  Đường tròn $(C)$ đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$ nên bán kính $R = OI$.

  Ta có:

  $$R^2 = OI^2 = (0 - 1)^2 + (0 - (-3))^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$$

• Bước 2: Viết phương trình.

  Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; -3)$ và $R^2 = 10$.

  Kết luận: Phương trình đường tròn là: $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10$.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(-2; 3)$ và đi qua điểm $A(2; -3)$

Lời giải:

• Bước 1: Tính bán kính $R$.

  Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-2; 3)$ và đi qua điểm $A(2; -3)$ nên:

  $$R^2 = IA^2 = [2 - (-2)]^2 + [(-3) - 3]^2$$
  $$R^2 = 4^2 + (-6)^2 = 16 + 36 = 52$$

• Bước 2: Viết phương trình.

  Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-2; 3)$ và $R^2 = 52$.

  Kết luận: Phương trình đường tròn là: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 52$.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(2; -4)$ và đi qua điểm $M(1; 3)$

Lời giải:

• Bước 1: Tính bán kính $R$.

  Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2; -4)$ và đi qua điểm $M(1; 3)$ nên:

  $$R^2 = IM^2 = (1 - 2)^2 + [3 - (-4)]^2$$
  $$R^2 = (-1)^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50$$

• Bước 2: Viết phương trình.

  Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2; -4)$ và $R^2 = 50$.

  Kết luận: Phương trình đường tròn là: $(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50$.

III. Một số lưu ý nhỏ để không mất điểm đáng tiếc

• Nhầm dấu: Khi thay tọa độ tâm $I(a; b)$ vào phương trình $(x-a)^2 + (y-b)^2$, hãy cẩn thận với các giá trị âm. Ví dụ tâm $I(-2; 3)$ thì phương trình phải là $(x+2)^2$.

• Đơn vị bán kính: Luôn nhớ phương trình đường tròn chứa $R^2$. Rất nhiều bạn tính xong $R = \sqrt{10}$ nhưng lại quên không bình phương khi viết vào phương trình.

• Gốc tọa độ: Gốc tọa độ $O$ luôn có tọa độ là $(0; 0)$, đừng quên "nhân vật" thầm lặng này nhé!