Cách viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm - Toán 10 chuyên đề

Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm có bán kính R; hoặc đi qua 2 điểm tiếp xúc với đường thẳng (d); hoặc đi qua 2 điểm có tâm nằm trên đường thẳng (Δ) cũng là dạng toán phổ biến. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải bài tập dạng này ngay sau đây.

* Cách giải bài tập viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm

Tùy từng trường hợp, bài sẽ cho đường tròn (C) đi qua 2 điểm có bán kính R;

hoặc đường tròn (C) có đường kính AB và tọa độ điểm A, điểm B;

hoặc đường tròn (C) đi qua 2 điểm và có tâm nằm trên đường thẳng (d);

hoặc đường tròn (C) đia qua 2 điểm và tiếp xúc với một đường thẳng (Δ);

Về cơ bản chúng ta cần thực hiện:

 - Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)

 - Tìm bán kính R của (C)

 - Viết phương trình đường tròn (C) dạng: (x - a)² + (y - b)² = R²

Để dễ hiểu hơn, chúng ta cùng vận dụng vào giải một số bài tập minh họa.

» xem thêm tại hayhọchỏi.vn: Các dạng toán phương trình đường tròn lớp 10

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) trong biết (C) đi qua 2 điểm AB với A(1;1), B(5,3) và nhận AB là đường kính.

* Lời giải:

- Vì đường tròn (C) có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

- Ta có toạ độ tâm I của (C) là trung điểm A,B là:

- Bán kính 

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(3;2) và bán kính  có pt:

  (x - 3)² + (y - 2)² = 5

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(2;0), B(3;1) và có bán kính R = 5.

* Lời giải:

- Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a;b)

Vì đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

 IA = 5 ⇒ IA² = R² = 25

⇒ (a - 2)² + (b - 0)² = 25

⇒ a² - 4a + 4 + b² = 25 

⇒ a² - 4a + b² = 21 (1)

 IB = 5 ⇒ IB² = R² = 25 

⇒ (a - 3)² + (b - 1)² = 25 

⇒ a² - 6a + 9 + b² - 2b + 1 = 15

⇒ a² - 6a + b² - 2b = 15  (2)

Lấy (1) trừ (2) vế với vế ta được:

 2a + 2b = 6 ⇒ a + b = 3   

⇒ a = 3 - b  (3)

thay trở lại pt (1) ta có

(3 - b)² - 4(3 - b) + b² = 21

⇒ b² - 6b + 9 - 12 + 4b + b² = 21

⇒ 2b² - 2b = 24

⇒ b² - b -12 = 0

Giải phương trình bậc 2 với ẩn là b này ta được nghiệm b₁ = -3 và b₂ = 4

Với b = -3 thì từ pt (3) ⇒ a = 6 ⇒ I(6; -3)

Với b = 4 thì từ pt (3) ⇒ a = -1 ⇒ I(-1; 4)

Vậy ta có 2 đường tròn thỏa là:

(C₁): (x - 6)² + (y + 3)² = 25

(C₂): (x + 1)² + (y - 4)² = 25

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) và có tâm nằm trên đường thẳng (d): x + y + 2 = 0 

* Lời giải:

- Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a;b),

Vì I(a,b) thuộc đường thẳng x + y + 2 = 0 nên ta có: a + b + 2 = 0 (1)

vì (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) nên ta có R = IA = IB ⇒ IA² = IB² 

⇒ (x_A - x_I)² + (y_A - y_I)² = (x_B - x_I)² + (y_B - y_I)² 

⇒ (a - 0)² + (b - 1)² = (a - 1)² + (b - 0)²

⇒ a² + b² - 2b + 1 = a² - 2a + 1 + b²

⇒ 2b = 2a ⇒ a = b  (2)

thay vào pt (1) ta được a = b = -1

và R² = IA² = 1² + 2² = 5

Vậy phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) và có tâm I(-1;-1) là:

 (x + 1)² + (y + 1)² = 5

* Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(-1;0), B(1,2) và tiếp xúc với đường thẳng (d): x - y - 1 = 0

* Lời giải:

- Gọi I(a;b) là tâm đường tròn và R là bán kính của đường tròn (C).

- Khi đó khoảng cách từ tâm I của (C) đến đường thẳng (d) là:

  (1)

Vì A, B là 2 điểm thuộc đường tròn nên ta có:

 (-1 - a)² + b² =  R²   (2)

 (1 - a)² + (2 - b)² = R²  (3)

Từ (2) và (3) có: (1 + a)² + b² = (1 - a)² + (2 - b)²

⇒ 1 + 2a + a² + b² = 1 - 2a + a² + 4 - 4b + b²

⇒ 2a + 1 = -2a - 4b + 5

⇒ 4a + 4b = 4

⇒ a + b = 1  (4)

Từ (1) và (2) lại có:

 (a - b - 1)² = 2[(1 + a)² + b²]

⇒ 1 + a² + b² + 2ab - 6a - 2b = 0

⇒ 1 + (a + b)² + 6(a + b) - 8b = 0

mà theo (4) thì: a + b = 1 nên

⇒ 1 + 1² + 6 - 8b = 0

⇒ b = 1 và từ (4) ⇒ a = 0

⇒ R² = 2.

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x² + (y - 1)² = 2