Cách viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm - Toán 10 chuyên đề

Đừng lo, bài viết này HayHocHoi sẽ cùng các em hệ thống lại các phương pháp giải chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em "phá đảo" dạng toán này một cách dễ dàng nhất.

I. Tổng quan phương pháp giải

Để viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm, về mặt "chiến thuật", mục tiêu tối thượng của chúng ta luôn là tìm được hai yếu tố cốt lõi:

1. Tọa độ tâm $I(a; b)$.

2. Độ dài bán kính $R$.

Sau khi có đủ "vũ khí", ta chỉ cần lắp vào công thức chính tắc:

II. Các trường hợp thường gặp và cách xử lý

Tùy vào dữ kiện kèm theo mà chúng ta có các hướng tiếp cận khác nhau:

1. Đường tròn nhận AB làm đường kính

Đây là trường hợp "dễ thở" nhất.

• Tâm $I$: Chính là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

• Bán kính $R$: Bằng một nửa độ dài đoạn $AB$ ($R = \frac{AB}{2}$) hoặc $R = IA$.

2. Cho biết bán kính $R$ cố định

Khi biết đường tròn đi qua $A, B$ và có bán kính $R$, ta thiết lập hệ phương trình:

Giải hệ này các em sẽ tìm được tọa độ tâm $I$. Lưu ý: Dạng này thường cho ra 2 kết quả đường tròn đối xứng qua đường thẳng $AB$.

3. Tâm $I$ nằm trên một đường thẳng $\Delta$ cho trước

Đây là dạng bài "quốc dân".

• Bước 1: Tham số hóa tọa độ tâm $I$ dựa vào phương trình đường thẳng $\Delta$.

• Bước 2: Vì đường tròn đi qua $A$ và $B$ nên $IA = IB \Rightarrow IA^2 = IB^2$. Giải phương trình này để tìm tham số và suy ra tọa độ tâm $I$.

4. Tiếp xúc với một đường thẳng $d$ cho trước

Dạng này kết hợp tính chất: $IA = IB = d(I, d) = R$. Chúng ta sẽ giải hệ phương trình để tìm tâm $I$.

III. Bài tập minh họa chi tiết

Dưới đây là các ví dụ được giải chi tiết để các em nắm vững quy trình biến đổi:

Ví dụ 1: Đường tròn nhận AB làm đường kính

Đề bài: Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua 2 điểm $A(1; 1), B(5; 3)$ và nhận $AB$ làm đường kính.

Lời giải:

• Tâm $I$ là trung điểm của $AB$:

  $$x_I = \frac{1+5}{2} = 3; \quad y_I = \frac{1+3}{2} = 2 \Rightarrow I(3; 2)$$

• Bán kính $R$:

  $$R^2 = IA^2 = (1-3)^2 + (1-2)^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 5$$

• Kết luận: Phương trình đường tròn $(C)$ là: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5$.

Ví dụ 2: Biết trước bán kính $R$

Đề bài: Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua $A(2; 0), B(3; 1)$ và có bán kính $R = 5$.

Lời giải:

Giả sử tâm $I(a; b)$. Vì $A, B \in (C)$ nên $IA^2 = IB^2 = 25$:

1. $(a - 2)^2 + b^2 = 25 \Leftrightarrow a^2 + b^2 - 4a = 21$ (1)

2. $(a - 3)^2 + (b - 1)^2 = 25 \Leftrightarrow a^2 + b^2 - 6a - 2b = 15$ (2)

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế:

Thay vào (1):

Giải phương trình bậc 2 ta được:

• $b = -3 \Rightarrow a = 6 \Rightarrow I_1(6; -3)$

• $b = 4 \Rightarrow a = -1 \Rightarrow I_2(-1; 4)$

Kết luận: Có 2 đường tròn thỏa mãn:

• $(C_1): (x - 6)^2 + (y + 3)^2 = 25$

• $(C_2): (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25$

Ví dụ 3: Tâm nằm trên đường thẳng $\Delta$

Đề bài: Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua $A(0; 1), B(1; 0)$ và có tâm nằm trên $d: x + y + 2 = 0$.

Lời giải:

Tâm $I(a; b) \in d \Rightarrow a + b + 2 = 0 \Rightarrow b = -a - 2$.

Vì $IA^2 = IB^2$:

Thay vào phương trình đường thẳng: $a + a + 2 = 0 \Rightarrow a = -1, b = -1$.

Bán kính $R^2 = IA^2 = (-1)^2 + (-1-1)^2 = 5$.

Kết luận: Phương trình đường tròn là: $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 5$.

Ví dụ 4: Tiếp xúc với đường thẳng

Đề bài: Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua $A(-1; 0), B(1; 2)$ và tiếp xúc với $d: x - y - 1 = 0$.

Lời giải:

• Gọi $I(a; b)$ là tâm. Ta có $IA = IB \Leftrightarrow (a+1)^2 + b^2 = (a-1)^2 + (b-2)^2$.

  Giải ra ta được: $a + b = 1 \Rightarrow b = 1 - a$.

• Bán kính $R^2 = IA^2 = (a+1)^2 + (1-a)^2 = 2a^2 + 2$.

• Vì đường tròn tiếp xúc với $d$ nên $d(I, d) = R$:

  $$\frac{|a - b - 1|}{\sqrt{2}} = R \Rightarrow \frac{|a - (1 - a) - 1|}{\sqrt{2}} = R \Leftrightarrow \frac{|2a - 2|}{\sqrt{2}} = R$$

  Bình phương 2 vế: $\frac{4(a-1)^2}{2} = R^2 \Rightarrow 2(a-1)^2 = 2a^2 + 2$

  $$\Leftrightarrow a^2 - 2a + 1 = a^2 + 1 \Rightarrow a = 0$$

• Với $a = 0 \Rightarrow b = 1$ và $R^2 = 2$.

  Kết luận: Phương trình đường tròn là: $x^2 + (y - 1)^2 = 2$.